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本章介绍了本书的主要思想。
1.1 Introduction – the ubiquitous projective geometry
为了了解为什么我们需要射影几何#xff0c;我们从熟悉的欧几里得几何开始。 欧几里得几何在二维中认为平行线是不会相交的…1 Introduction – a Tour of Multiple View Geometry
本章介绍了本书的主要思想。
1.1 Introduction – the ubiquitous projective geometry
为了了解为什么我们需要射影几何我们从熟悉的欧几里得几何开始。 欧几里得几何在二维中认为平行线是不会相交的解决这个问题的一种常见手段是说平行线“在无穷远”相交。 然而这并不完全令人信服并且与另一个格言相冲突即无穷不存在而只是一个方便的虚构。 我们可以通过在平行线相交的无穷远处添加这些点来增强欧几里得平面并通过将它们称为“理想点”来解决无穷远的困难从而解决这个问题。
通过将这些无穷远点相加熟悉的欧几里得空间就转变为一种新型的几何对象即射影空间。 这是一种非常有用的思维方式因为我们熟悉欧几里得空间的属性涉及距离、角度、点、线和入射等概念。 射影空间并没有什么非常神秘的地方——它只是欧几里得空间的延伸其中两条线总是交汇于一点尽管有时交汇于无穷远的点。
一个简单的2D欧式点x, y可以添加一个额外的坐标变为(x, y, 1)也可以表示为kx, ky, k)。那么我们可以观察到虽然 (x, y, 1) 表示与坐标对 (x, y) 相同的点但没有对应于 (x, y, 0) 的点。 如果我们尝试除以最后一个坐标我们会得到无穷大的点 (x/0, y/0)。 这就是无穷远点的产生方式。 它们是由齐次坐标表示的点其中最后一个坐标为零。所以(x, y, 0)表示无穷远点。
平移和旋转被称为欧式变换射影变换是相当于在齐次坐标下面乘了一个齐次矩阵这是机器视觉和图形学、机器人中常见的表示方法。更通用的变换类型是线性变换然后移动空间原点的欧几里得变换。 我们可以将其视为空间在不同方向上以不同比例移动、旋转并最终线性拉伸由此产生的变换称为仿射变换。
1.2 Camera projections
摄像机投影的原理可以看成是从射影空间到射影平面的投影通过一个3x4的矩阵转换一下齐次坐标就可以。
摄像机可以被视作一个点。
关于相机如果一个相机中能够得到IAC绝对二次曲线的图像那么我们说相机已经标定。
1.3 Reconstruction from more than one view
考虑两幅图的重建重构往往是会产生很多组解的。必须至少有7个不在临界位置的点来确定重构的结果。 我们的目标是已知两幅图中的对应点想要获取他们的相机坐标和对应的3D坐标这种求解一定是带有不确定性的不确定性可以用投影变换来描述这种重建叫做投影重建。 重建的基本方法是找基础矩阵基础矩阵意味着两个图像的对应相同的3D点。 重建的主要流程找基础矩阵求相机矩阵在用三角法求对应的3D点。
1.4 Three-view geometry
对应三幅图的重建基本原理跟两视角重建差不多不过计算起来会更复杂。
1.5 Four view geometry and n-view reconstruction
对多视图的重建针对不同序列有不同的重建方法一个基本的步骤是bundle adjustment这一步需要反复迭代式的调整。
1.6 Transfer
我们已经讨论了从一组图像进行 3D 重建。 射影几何的另一个有用的应用是传递给定一个或多个图像中的点的位置确定它在该组的所有其他图像中出现的位置。 为此我们必须首先使用例如一组辅助点对应关系来建立摄像机之间的关系。
1.7 Euclidean reconstruction
欧式几何的重建根本任务是要找绝对二次曲线所在的平面和无穷远的平面。只要找到了这两个平面所有的欧式几何结构都将被知道。
1.8 Auto-calibration
