做网站龙华,苏州企业网站制作设计公司,自定义建设网站,石家庄做外贸网站调和级数为什么发散#xff1f; 它不是每一项都在变小吗#xff1f;甚至趋近于 0#xff0c;为什么总和却是无穷#xff1f; 我们先来看看调和级数的形式#xff1a; ∑ n 1 ∞ 1 n 1 1 2 1 3 1 4 ⋯ \sum_{n1}^\infty \frac{1}{n} 1 \frac{1}{2} \frac{1}{3} \… 调和级数为什么发散 它不是每一项都在变小吗甚至趋近于 0为什么总和却是无穷 我们先来看看调和级数的形式 ∑ n 1 ∞ 1 n 1 1 2 1 3 1 4 ⋯ \sum_{n1}^\infty \frac{1}{n} 1 \frac{1}{2} \frac{1}{3} \frac{1}{4} \cdots n1∑∞n11213141⋯ 一、确实每一项都在变小趋近于 0
是的 1 n → 0 \frac{1}{n} \to 0 n1→0 随着 n → ∞ n \to \infty n→∞但是这只是收敛的必要条件不是充分条件。
⚠️ 换句话说 a n → 0 是收敛的必要条件但并不能保证收敛 a_n \to 0 \quad \text{是收敛的必要条件但并不能保证收敛} an→0是收敛的必要条件但并不能保证收敛 二、证明调和级数发散最常见方法
✅ 方法比较法 分组法
我们来对它进行分组比较 ∑ n 1 ∞ 1 n 1 1 2 ( 1 3 1 4 ) ( 1 5 1 6 1 7 1 8 ) ( 1 9 ⋯ 1 16 ) ⋯ \begin{aligned} \sum_{n1}^\infty \frac{1}{n} 1 \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \frac{1}{4} \right) \left( \frac{1}{5} \frac{1}{6} \frac{1}{7} \frac{1}{8} \right) \\ \quad \left( \frac{1}{9} \cdots \frac{1}{16} \right) \cdots \end{aligned} n1∑∞n1121(3141)(51617181)(91⋯161)⋯
观察每组
第1组 1 1 1第2组 1 2 \frac{1}{2} 21第3组 1 3 1 4 2 × 1 4 1 2 \frac{1}{3} \frac{1}{4} 2 \times \frac{1}{4} \frac{1}{2} 31412×4121第4组 1 5 ⋯ 1 8 4 × 1 8 1 2 \frac{1}{5} \cdots \frac{1}{8} 4 \times \frac{1}{8} \frac{1}{2} 51⋯814×8121第5组 1 9 ⋯ 1 16 8 × 1 16 1 2 \frac{1}{9} \cdots \frac{1}{16} 8 \times \frac{1}{16} \frac{1}{2} 91⋯1618×16121
以此类推每一组的和都 1 2 \frac{1}{2} 21
而这样的组有无限多组所以整体和 无数个 1 2 \frac{1}{2} 21 累加 ∑ n 1 ∞ 1 n 1 1 2 1 2 1 2 ⋯ ∞ \sum_{n1}^\infty \frac{1}{n} 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdots \infty n1∑∞n11212121⋯∞ ✅ 结论 虽然调和级数的项趋近于 0但趋近得不够快所以总和会发散。 附加理解如果项下降得更快会不会收敛
是的
比如 ∑ 1 n 2 \sum \frac{1}{n^2} ∑n21收敛这是著名的 Basel 问题和是 π 2 6 \frac{\pi^2}{6} 6π2 ∑ 1 n 1.1 \sum \frac{1}{n^{1.1}} ∑n1.11也收敛 ∑ 1 n 0.9 \sum \frac{1}{n^{0.9}} ∑n0.91发散 这和“p 级数判别法”有关 ∑ n 1 ∞ 1 n p 当且仅当 p 1 时收敛 \sum_{n1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \quad\text{当且仅当}\quad p 1 \text{时收敛} n1∑∞np1当且仅当p1时收敛
