网站注意事项,网站文章列表和图片列表排版切换代码,中信建设有限责任公司 李玲,廊坊百度seo公司先回顾2D的Harris角点检测算法推导
自相关矩阵是Harris角点检测算法的核心之一#xff0c;它通过计算图像局部区域的梯度信息来描述该区域的特征。在推导Harris角点检测算法中的自相关矩阵时#xff0c;我们首先需要了解自相关矩阵的基本思想和数学背景。
参考
1. 能量函数…先回顾2D的Harris角点检测算法推导
自相关矩阵是Harris角点检测算法的核心之一它通过计算图像局部区域的梯度信息来描述该区域的特征。在推导Harris角点检测算法中的自相关矩阵时我们首先需要了解自相关矩阵的基本思想和数学背景。
参考
1. 能量函数的定义
在图像中角点通常表现为局部区域内灰度值发生急剧变化的地方因此我们需要通过图像的梯度信息来量化图像变化的程度。为了描述图像在局部区域的变化程度Harris角点检测算法使用了 能量函数它度量了图像强度在局部区域内的变化。
首先我们定义图像的梯度
水平梯度 I x ∂ I ∂ x I_x \frac{\partial I}{\partial x} Ix∂x∂I垂直梯度 I y ∂ I ∂ y I_y \frac{\partial I}{\partial y} Iy∂y∂I
然后我们通过计算图像局部区域的强度变化来定义 能量函数该函数通常用梯度的平方来表示变化 E ∑ x , y ( ( I x ( x , y ) ) 2 ( I y ( x , y ) ) 2 ) ⋅ w ( x , y ) E \sum_{x, y} \left( \left( I_x(x, y) \right)^2 \left( I_y(x, y) \right)^2 \right) \cdot w(x, y) Ex,y∑((Ix(x,y))2(Iy(x,y))2)⋅w(x,y) 其中 w ( x , y ) w(x, y) w(x,y) 是一个权重函数通常使用 高斯窗口 来加权周围像素以降低远离中心点的像素对结果的影响。
2. 协方差矩阵的推导
Harris算法的核心是通过 自相关矩阵 来描述局部图像的变化程度。我们从能量函数出发推导出协方差矩阵的定义。自相关矩阵反映了局部区域的梯度变化通常由以下几个部分组成 M ( ∑ w ( x , y ) I x 2 ( x , y ) ∑ w ( x , y ) I x ( x , y ) I y ( x , y ) ∑ w ( x , y ) I x ( x , y ) I y ( x , y ) ∑ w ( x , y ) I y 2 ( x , y ) ) M \begin{pmatrix} \sum w(x, y) I_x^2(x, y) \sum w(x, y) I_x(x, y) I_y(x, y) \\ \sum w(x, y) I_x(x, y) I_y(x, y) \sum w(x, y) I_y^2(x, y) \end{pmatrix} M(∑w(x,y)Ix2(x,y)∑w(x,y)Ix(x,y)Iy(x,y)∑w(x,y)Ix(x,y)Iy(x,y)∑w(x,y)Iy2(x,y))
2.1 矩阵元素的物理意义
这个自相关矩阵是通过局部区域的梯度信息构建的矩阵的每个元素代表图像局部区域的梯度相关信息。具体来说 M 11 ∑ w ( x , y ) I x 2 ( x , y ) M_{11} \sum w(x, y) I_x^2(x, y) M11∑w(x,y)Ix2(x,y)表示图像在水平方向的变化强度经过加权求和得到的值。 M 12 M 21 ∑ w ( x , y ) I x ( x , y ) I y ( x , y ) M_{12} M_{21} \sum w(x, y) I_x(x, y) I_y(x, y) M12M21∑w(x,y)Ix(x,y)Iy(x,y)表示图像在两个方向上的共同变化程度衡量了水平方向和垂直方向的梯度协方差。 M 22 ∑ w ( x , y ) I y 2 ( x , y ) M_{22} \sum w(x, y) I_y^2(x, y) M22∑w(x,y)Iy2(x,y)表示图像在垂直方向的变化强度。
这些加权求和的值构成了自相关矩阵 M M M该矩阵包含了图像在局部区域的 梯度信息用于描述局部特征。
2.2 局部平移不变性
图像中每个像素的梯度是局部信息的反映而自相关矩阵 M M M 聚合了局部区域内所有像素的梯度信息。通过自相关矩阵计算的响应函数 R R R 对于平移变换具有不变性。即如果我们平移图像的局部区域计算出的响应函数值将不受平移影响这使得Harris角点检测算法在不同位置的图像上都能得到一致的特征。
3. 响应函数
为了从自相关矩阵中提取角点Harris算法定义了 响应函数 R R R用于评估点 p i ( x , y ) p_i (x, y) pi(x,y) 是否为角点。响应函数的定义如下 R det ( M ) − k ⋅ ( trace ( M ) ) 2 R \text{det}(M) - k \cdot (\text{trace}(M))^2 Rdet(M)−k⋅(trace(M))2 det ( M ) \text{det}(M) det(M) 是自相关矩阵 M M M 的行列式表示局部区域的变化程度。 trace ( M ) \text{trace}(M) trace(M) 是自相关矩阵 M M M 的迹表示图像梯度的总变化。 k k k 是经验常数通常取值在 0.04 0.04 0.04 到 0.06 0.06 0.06 之间。
通过计算 R R R 值Harris算法可以识别出角点。当 R R R 值较大时说明该点局部区域的变化较大且可能是角点。
4. 行列式和迹的几何意义
自相关矩阵的行列式和迹反映了图像局部区域的不同形状特征
行列式 det ( M ) \text{det}(M) det(M) 衡量的是局部区域在两个主方向上的变化程度。行列式较大表示局部区域在两个方向上都有较强的变化通常对应于角点。迹 trace ( M ) \text{trace}(M) trace(M) 衡量的是局部区域的整体变化程度。如果局部区域在两个方向上的变化程度相似则迹值较大可能表示图像区域较为平坦或是边缘区域。
5. 总结
自相关矩阵 M M M 是通过计算图像梯度的加权平方和得到的它包含了图像局部区域的梯度信息。在Harris角点检测算法中自相关矩阵用于描述局部区域的变化通过计算行列式和迹来定义响应函数 R R R。响应函数可以帮助我们判断某个点是否为角点。这个过程结合了局部图像区域的梯度信息能够有效地检测出角点等图像特征。 迹的意义
在 Harris 角点检测中trace矩阵的迹是自相关矩阵 M M M 的一个重要特征它反映了图像局部区域的总体变化。具体来说矩阵的迹是其对角线元素的和数学上表示为 trace ( M ) λ 1 λ 2 \text{trace}(M) \lambda_1 \lambda_2 trace(M)λ1λ2 其中 λ 1 \lambda_1 λ1 和 λ 2 \lambda_2 λ2 是自相关矩阵 M M M 的两个特征值。
1. 迹的几何意义
自相关矩阵 M M M 描述了图像局部区域在 x − x- x−和 y − y- y−方向上的灰度变化。特征值 λ 1 \lambda_1 λ1 和 λ 2 \lambda_2 λ2 分别表示图像在这两个方向上的变化强度。
迹 trace ( M ) λ 1 λ 2 \text{trace}(M) \lambda_1 \lambda_2 trace(M)λ1λ2 表示图像在这两个方向上的整体变化程度。它是矩阵对角线元素的和反映了局部区域的总变化量。
2. 迹在 Harris 角点检测中的作用
在 Harris 角点检测中响应函数 RR 是通过自相关矩阵的行列式和迹计算的具体公式为 R det ( M ) − k ⋅ ( trace ( M ) ) 2 R \text{det}(M) - k \cdot (\text{trace}(M))^2 Rdet(M)−k⋅(trace(M))2 其中
行列式 det ( M ) λ 1 λ 2 \text{det}(M) \lambda_1 \lambda_2 det(M)λ1λ2表示图像局部区域沿两个主方向的整体变化强度。迹 trace ( M ) λ 1 λ 2 \text{trace}(M) \lambda_1 \lambda_2 trace(M)λ1λ2表示图像局部区域的总变化程度。
迹的作用是提供对图像局部区域总变化的一个量化。它有以下几种作用
2.1 描述整体变化程度
迹 trace ( M ) \text{trace}(M) trace(M) 表示局部区域在两个方向上的总变化
如果迹较大说明图像在这两个方向上的变化较强可能是边缘或角点。如果迹较小说明图像在这两个方向上的变化较弱可能是平坦区域。
2.2 区分角点和边缘
在 Harris 角点检测中行列式 det ( M ) \text{det}(M) det(M) 和迹 trace ( M ) \text{trace}(M) trace(M) 共同决定了一个点是否为角点。具体来说
角点当 λ 1 \lambda_1 λ1 和 λ 2 \lambda_2 λ2 都较大时表示图像在两个方向上都有显著变化这时 R R R 的值较大响应函数 R R R 也较大通常认为该点为角点。边缘当 λ 1 \lambda_1 λ1 很大 λ 2 \lambda_2 λ2 很小或接近零时表示图像在一个方向上有显著变化而在另一个方向上变化较小。这时尽管迹值可能不小但由于 λ 2 \lambda_2 λ2 较小行列式 det ( M ) \text{det}(M) det(M) 也较小导致 R R R 较小响应函数值较小因此不会被认为是角点。平坦区域当 λ 1 \lambda_1 λ1 和 λ 2 \lambda_2 λ2 都较小表示图像在两个方向上的变化都很弱这时 trace ( M ) \text{trace}(M) trace(M) 较小行列式 det ( M ) \text{det}(M) det(M) 也很小响应函数值接近零表示该点是平坦区域。
2.3 惩罚作用
在 Harris 角点检测的响应函数中迹的平方项 k ⋅ ( trace ( M ) ) 2 k \cdot (\text{trace}(M))^2 k⋅(trace(M))2作为一个惩罚项用于抑制那些虽然有较大行列式即较强的变化但局部变化是均匀的即沿一个方向变化而另一个方向变化很小的区域。这个惩罚项使得响应函数值对于边缘和角点之间的差异更加敏感从而提高角点检测的准确性。
3. 总结
迹trace 是自相关矩阵 M M M 中两个特征值的和反映了图像局部区域在两个方向上的总体变化。在 Harris 角点检测中迹 trace ( M ) \text{trace}(M) trace(M) 反映了图像局部变化的整体程度结合行列式 det ( M ) \text{det}(M) det(M)通过响应函数 R R R 判断一个点是否为角点。通过响应函数中的迹项可以有效区分角点、边缘和平坦区域从而实现角点的检测。 为什么det(M)等于特征值的积
在矩阵的线性代数理论中行列式和特征值之间有着直接的关系。具体来说对于一个 2 × 2 2 \times 2 2×2 的矩阵 M M M其行列式等于该矩阵的特征值的乘积。这一结论可以通过以下推导来理解。
1. 矩阵的特征值与行列式的关系
假设矩阵 M M M 是一个 2 × 2 2 \times 2 2×2 的对称矩阵因为自相关矩阵 M M M 通常是对称矩阵 M [ a b b c ] M \begin{bmatrix} a b \\ b c \end{bmatrix} M[abbc] 该矩阵的特征值是矩阵的本征值eigenvalues我们设其特征值为 λ 1 \lambda_1 λ1 和 λ 2 \lambda_2 λ2。
为了计算特征值需要解矩阵的特征方程 det ( M − λ I ) 0 \text{det}(M - \lambda I) 0 det(M−λI)0 其中 I I I 是单位矩阵 λ \lambda λ 是特征值。矩阵 M − λ I M - \lambda I M−λI 为 M − λ I [ a − λ b b c − λ ] M - \lambda I \begin{bmatrix} a - \lambda b \\ b c - \lambda \end{bmatrix} M−λI[a−λbbc−λ] 它的行列式为 det ( M − λ I ) ( a − λ ) ( c − λ ) − b 2 0 \text{det}(M - \lambda I) (a - \lambda)(c - \lambda) - b^2 0 det(M−λI)(a−λ)(c−λ)−b20 展开得到 λ 2 − ( a c ) λ ( a c − b 2 ) 0 \lambda^2 - (a c)\lambda (ac - b^2) 0 λ2−(ac)λ(ac−b2)0 这个方程的解就是 λ 1 \lambda_1 λ1 和 λ 2 \lambda_2 λ2即矩阵 M M M 的特征值。
2. 行列式与特征值的关系
根据上面的特征方程我们可以得到两个重要的结论
特征值的和为 λ 1 λ 2 a c trace ( M ) \lambda_1 \lambda_2 a c \text{trace}(M) λ1λ2actrace(M)即矩阵的迹trace等于特征值的和。特征值的积为 λ 1 λ 2 a c − b 2 det ( M ) \lambda_1 \lambda_2 ac - b^2 \text{det}(M) λ1λ2ac−b2det(M)即矩阵的行列式det等于特征值的积。
3. 为什么行列式等于特征值的积
行列式 det ( M ) \text{det}(M) det(M) 是矩阵的一种不变量它可以通过矩阵的特征值来表示。对于一个 n × n n \times n n×n 的矩阵 M M M行列式可以写成所有特征值的积 det ( M ) ∏ i 1 n λ i \text{det}(M) \prod_{i1}^{n} \lambda_i det(M)i1∏nλi 其中 λ i \lambda_i λi 是矩阵 M M M 的第 i i i 个特征值。
对于 2 × 2 2 \times 2 2×2 矩阵 M M M其行列式就是特征值 λ 1 \lambda_1 λ1 和 λ 2 \lambda_2 λ2 的积因此 det ( M ) λ 1 ⋅ λ 2 \text{det}(M) \lambda_1 \cdot \lambda_2 det(M)λ1⋅λ2
4. 在 Harris 角点检测中的应用
在 Harris 角点检测中矩阵 M M M 是局部图像窗口的自相关矩阵通常表示为 M [ I x 2 I x I y I x I y I y 2 ] M \begin{bmatrix} I_x^2 I_x I_y \\ I_x I_y I_y^2 \end{bmatrix} M[Ix2IxIyIxIyIy2] 其中 I x I_x Ix 和 I y I_y Iy 分别是图像在 x − x- x−和 y − y- y−方向的梯度。矩阵 M M M 的特征值 λ 1 \lambda_1 λ1 和 λ 2 \lambda_2 λ2 反映了图像局部区域在两个主方向上的变化程度
行列式 det ( M ) λ 1 ⋅ λ 2 \text{det}(M) \lambda_1 \cdot \lambda_2 det(M)λ1⋅λ2 反映了图像局部区域在两个方向上的整体变化强度。迹 trace ( M ) λ 1 λ 2 \text{trace}(M) \lambda_1 \lambda_2 trace(M)λ1λ2 反映了图像局部区域的总变化程度。
因此行列式 det ( M ) \text{det}(M) det(M) 和迹 trace ( M ) \text{trace}(M) trace(M) 是用来区分图像角点、边缘和平坦区域的重要指标。 det(M − λI) 0怎么来的
det(M − λI) 0 这个等式是 特征值问题 的核心它来源于 矩阵的特征方程用于求解矩阵的特征值。让我们从头开始推导理解为什么需要这个方程。
1. 特征值与特征向量的定义
假设我们有一个方阵 M M M我们想要找到这个矩阵的特征值和特征向量。根据定义一个特征值 λ \lambda λ 和特征向量 v \mathbf{v} v 满足以下关系 M v λ v M \mathbf{v} \lambda \mathbf{v} Mvλv 这里 v \mathbf{v} v 是非零向量称为特征向量而 λ \lambda λ 是与之对应的特征值。
2. 转化为矩阵方程
为了从上面的方程中解出特征值 λ \lambda λ我们首先将其改写成以下形式 M v − λ v 0 M \mathbf{v} - \lambda \mathbf{v} 0 Mv−λv0 将这个方程右边提取公共因子 v \mathbf{v} v 后我们得到 ( M − λ I ) v 0 (M - \lambda I) \mathbf{v} 0 (M−λI)v0 这里 I I I 是单位矩阵形状与矩阵 M M M 相同$\lambda I 表示矩阵 $ λ \lambda λ 乘以单位矩阵。这个方程表示的是一个线性方程组我们的目标是找到 λ \lambda λ 和 v \mathbf{v} v。
3. 求解非平凡解
为了让这个方程有非平凡解即解不为零的特征向量 v \mathbf{v} v根据线性代数的理论矩阵 ( M − λ I ) (M - \lambda I) (M−λI) 必须是 奇异矩阵singular matrix。即 det ( M − λ I ) 0 \text{det}(M - \lambda I) 0 det(M−λI)0 这里的行列式为零是因为矩阵奇异的条件是它的行列式为零。当行列式为零时矩阵的秩下降导致存在非零解 v \mathbf{v} v。
4. 得到特征值的特征方程
所以求解特征值的过程就转化为求解以下方程 det ( M − λ I ) 0 \text{det}(M - \lambda I) 0 det(M−λI)0 这个方程被称为 特征方程。解这个方程得到的 λ \lambda λ 就是矩阵 M M M 的特征值。
5. 如何求解特征值
特征方程是一个关于 λ \lambda λ 的多项式方程方程的次数等于矩阵的大小维度。例如对于一个 2 × 2 2 \times 2 2×2 矩阵 M M M特征方程是一个二次方程解得两个特征值 λ 1 \lambda_1 λ1 和 λ 2 \lambda_2 λ2。
6. 举个例子
假设有一个 2 × 2 2 \times 2 2×2 矩阵 M M M M [ a b c d ] M \begin{bmatrix} a b \\ c d \end{bmatrix} M[acbd] 为了找到它的特征值我们构造矩阵 ( M − λ I ) (M - \lambda I) (M−λI) M − λ I [ a − λ b c d − λ ] M - \lambda I \begin{bmatrix} a-\lambda b \\ c d-\lambda \end{bmatrix} M−λI[a−λcbd−λ] 然后计算行列式 det ( M − λ I ) ( a − λ ) ( d − λ ) − b c \text{det}(M - \lambda I) (a-\lambda)(d-\lambda) - bc det(M−λI)(a−λ)(d−λ)−bc 展开后得到 det ( M − λ I ) λ 2 − ( a d ) λ ( a d − b c ) \text{det}(M - \lambda I) \lambda^2 - (ad)\lambda (ad - bc) det(M−λI)λ2−(ad)λ(ad−bc) 这就是矩阵 M M M 的特征方程。解这个方程可以得到 λ 1 \lambda_1 λ1 和 λ 2 \lambda_2 λ2即矩阵的特征值。
7. 总结
特征值方程 det(M − λI) 0 是从特征向量的定义出发推导出来的目的是为了找出使得矩阵 M M M 在作用于特征向量时仅引起缩放而不改变方向的标量 λ \lambda λ即特征值。通过解这个方程我们可以得到矩阵的特征值从而深入了解矩阵的性质。 奇异矩阵Singular Matrix
一个矩阵是 奇异矩阵如果它不具有 逆矩阵。换句话说一个矩阵 A A A 是奇异的如果不存在一个矩阵 B B B使得 A ⋅ B I A \cdot B I A⋅BI 其中 I I I 是单位矩阵。简单来说奇异矩阵是“无法反转”的矩阵。
奇异矩阵的几个特征 行列式为零 奇异矩阵的一个最基本的特征是它的行列式determinant为零 det ( A ) 0 \text{det}(A) 0 det(A)0 行列式为零意味着矩阵在某些方面“退化”了这也表示它的列向量或行向量是线性相关的。也就是说矩阵的列或行之间存在线性依赖关系无法形成一个完整的线性空间。 不可逆 奇异矩阵无法求逆。对于一个方阵 A A A如果它是奇异的那么它就没有逆矩阵。只有行列式非零的矩阵才有逆矩阵。对于奇异矩阵来说计算其逆矩阵会导致错误或不定义。 线性依赖 如果矩阵 A A A 的行或列是线性相关的即矩阵的某一行或某一列可以表示为其他行或列的线性组合那么这个矩阵就是奇异矩阵。 秩小于矩阵的维度 奇异矩阵的秩小于矩阵的维度。秩是一个矩阵的重要性质表示矩阵列向量或行向量中线性无关的最大数目。如果矩阵的秩小于其维度比如 n × n n \times n n×n 矩阵的秩小于 n n n那么该矩阵就是奇异的。
直观解释
可以通过一个简单的二维矩阵来理解奇异矩阵。例如考虑下面的 2 × 2 2 \times 2 2×2 矩阵 A [ 1 2 2 4 ] A \begin{bmatrix} 1 2 \\ 2 4 \end{bmatrix} A[1224] 在这个矩阵中第二行是第一行的两倍因此它们是线性相关的。我们可以看到这个矩阵的行列式为零 det ( A ) 1 × 4 − 2 × 2 0 \text{det}(A) 1 \times 4 - 2 \times 2 0 det(A)1×4−2×20 因为行列式为零矩阵是奇异的表示它无法反转。在几何意义上这个矩阵表示一个缩放变换其中两条线列向量落在了同一条直线上导致它们无法提供完整的二维空间的基。
奇异矩阵的数学背景
考虑矩阵的特征值与特征向量问题如果矩阵 A A A 是奇异的那么它的行列式为零意味着矩阵的某些特征值是零。特征值为零的矩阵无法被逆转因为零不能作为逆的因子。
在实际应用中奇异矩阵常常表示数据丢失或线性相关性可能会导致计算中的不稳定性。比如在求解线性方程组时如果矩阵是奇异的可能没有唯一解。
如何判断一个矩阵是否奇异
计算矩阵的行列式。如果行列式为零则矩阵是奇异的。如果矩阵的秩小于它的行或列数那么它也是奇异的。对于矩阵的特征值若存在特征值为零的情况则矩阵是奇异的。
举例奇异矩阵与非奇异矩阵
非奇异矩阵
例如考虑下面的矩阵 B [ 2 1 1 2 ] B \begin{bmatrix} 2 1 \\ 1 2 \end{bmatrix} B[2112] 计算它的行列式 det ( B ) 2 × 2 − 1 × 1 4 − 1 3 \text{det}(B) 2 \times 2 - 1 \times 1 4 - 1 3 det(B)2×2−1×14−13 由于行列式不为零矩阵 B B B 是非奇异的存在逆矩阵。
奇异矩阵
再看一个例子 C [ 1 2 2 4 ] C \begin{bmatrix} 1 2 \\ 2 4 \end{bmatrix} C[1224] 计算它的行列式 det ( C ) 1 × 4 − 2 × 2 4 − 4 0 \text{det}(C) 1 \times 4 - 2 \times 2 4 - 4 0 det(C)1×4−2×24−40 由于行列式为零矩阵 C C C 是奇异矩阵不能求逆。
总结
奇异矩阵是指没有逆矩阵的矩阵它的行列式为零矩阵的行或列是线性相关的导致秩小于矩阵的维度。奇异矩阵通常用于表示一些在几何或物理模型中无法逆转的情况。 Harris 3D 关键点检测算法的数学推导
Harris 3D 算法是基于 Harris 角点检测 的思想扩展到 三维点云数据 上的。其基本思想是通过分析点云局部表面的变化来寻找点云中显著的特征点即关键点通常用于在点云配准、三维重建等任务中提取关键特征。
Harris 3D 关键点检测的数学推导和过程通常包括以下几个步骤
1. 局部点云表面估计
对于三维点云中的每个点 p i p_i pi我们首先计算其 局部邻域这个邻域是由点 p i p_i pi 周围一定范围内的点组成通常使用 K-D树 或其他方式来搜索这些邻域点。
然后我们使用 主成分分析PCA 来估计该点的 局部法线 和 曲率这些信息能够反映局部表面的几何特征。
具体步骤如下
对于点 p i p_i pi通过其邻域点 N ( p i ) \mathcal{N}(p_i) N(pi) 来计算局部点云的 协方差矩阵 M M M。协方差矩阵 M M M 是通过对邻域内每个点相对于 p i p_i pi 的位置进行偏差即差值求和得到的。
2. 协方差矩阵的计算
协方差矩阵 M M M 用于描述点云局部的几何形态。假设我们已经得到邻域点集 N ( p i ) { p 1 , p 2 , … , p n } \mathcal{N}(p_i) \{ p_1, p_2, \dots, p_n \} N(pi){p1,p2,…,pn}则协方差矩阵的计算公式为 M 1 ∣ N ( p i ) ∣ ∑ j ∈ N ( p i ) ( p j − p i ˉ ) ( p j − p i ˉ ) T M \frac{1}{|\mathcal{N}(p_i)|} \sum_{j \in \mathcal{N}(p_i)} (p_j - \bar{p_i}) (p_j - \bar{p_i})^T M∣N(pi)∣1j∈N(pi)∑(pj−piˉ)(pj−piˉ)T 其中 p i ˉ \bar{p_i} piˉ 是点 p i p_i pi 的邻域质心 p i ˉ 1 ∣ N ( p i ) ∣ ∑ j ∈ N ( p i ) p j \bar{p_i} \frac{1}{|\mathcal{N}(p_i)|} \sum_{j \in \mathcal{N}(p_i)} p_j piˉ∣N(pi)∣1j∈N(pi)∑pj 协方差矩阵 M M M 是一个 3 × 3 3 \times 3 3×3 矩阵它的特征值反映了该点邻域内的 局部变化 情况。具体来说
特征值 λ 1 , λ 2 , λ 3 \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 λ1,λ2,λ3 描述了点云在各个主方向上的变化程度即局部的变异程度。其中 λ 1 \lambda_1 λ1 是最大的特征值对应主方向 λ 2 \lambda_2 λ2 和 λ 3 \lambda_3 λ3 分别是次主方向和最小主方向的特征值。
对于点云中的每一个点 p i p_i pi我们通过其邻域点 $\mathcal{N}(p_i) $计算出协方差矩阵 M M M。协方差矩阵反映了该点周围局部表面的几何特性它是通过对该点邻域的点进行 PCA主成分分析来估计的。
协方差矩阵 M M M 通常是一个 3 × 3 3 \times 3 3×3 的矩阵描述了点云局部区域的三维几何形态。协方差矩阵的特征值 λ 1 , λ 2 , λ 3 \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 λ1,λ2,λ3 反映了点云在各个主方向上的变化程度。
3. 响应函数的计算
Harris 3D 关键点检测的核心在于计算 响应函数 R R R用来评估点 p i p_i pi 是否为一个关键点。这个响应函数通常与 协方差矩阵 的行列式和迹trace相关公式为 R det ( M ) − k ⋅ ( trace ( M ) ) 2 R \det(M) - k \cdot (\text{trace}(M))^2 Rdet(M)−k⋅(trace(M))2 其中 det ( M ) \det(M) det(M) 是矩阵 M M M 的行列式反映了局部表面的 体积 变化表明点云局部区域的变化程度。 trace ( M ) \text{trace}(M) trace(M) 是协方差矩阵的迹即三个特征值的和反映了局部表面变化的 总变异。 k k k 是常数通常取值在 [0.04,0.06][0.04, 0.06] 之间用于控制响应函数的敏感度。 行列式 det ( M ) \det(M) det(M)反映了协方差矩阵的 体积即局部点云区域的空间分布。行列式越大意味着局部区域的几何变化越大点云在局部区域内的分布更为分散。 迹 trace ( M ) \text{trace}(M) trace(M)是协方差矩阵的对角线元素之和反映了点云在各个方向上的总体变化程度。简单来说迹是特征值的和 trace ( M ) λ 1 λ 2 λ 3 \text{trace}(M) \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 trace(M)λ1λ2λ3 迹越大意味着局部点云区域的整体变化越显著。
4. 响应函数的解释
如果 R R R 的值较大意味着点 p i p_i pi 周围的表面变化非常显著即有一个 显著的曲率变化。这种点通常位于 边缘 或 角点 等重要的几何特征处。如果 R R R 的值接近于零意味着点 p i p_i pi 周围的表面几乎是平坦的没有显著的几何变化。
5. 最大值抑制Non-Maximum Suppression
为了确保关键点是局部极值点Harris 3D 会使用 最大值抑制 方法在点云的邻域中抑制掉非极值点只保留响应值 R R R 最大的点作为关键点。
6. 关键点的筛选
通过计算响应函数 R R R我们可以得到每个点的显著性值。根据一个设定的阈值筛选出关键点
如果 Threshold \text{Threshold} Threshold则该点 p i p_i pi 被认为是一个关键点。
此外通常还会使用 非最大抑制 来进一步去除那些在局部邻域内不具备最大响应的点。
总结Harris 3D 关键点检测算法的数学推导过程
局部点云估计对点 p i p_i pi 的邻域进行 PCA计算协方差矩阵 M M M。协方差矩阵的特征值计算协方差矩阵 M M M 的特征值 λ 1 , λ 2 , λ 3 \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 λ1,λ2,λ3用于描述局部表面的变化。计算响应函数基于特征值计算响应函数 R R R。最大值抑制通过非最大抑制来筛选出局部极值点。关键点筛选通过设定阈值来选择最终的关键点。
该算法通过分析点云的 局部表面变化 和 曲率能够有效地提取出点云中的 角点 和 边缘点适用于在三维重建、点云配准等任务中的关键点提取。
Harris 3D 关键点检测的核心在于计算 响应函数 RR用来评估点 pip_i 是否为一个关键点。这个响应函数反映了点云局部表面变化的显著性通常与 协方差矩阵 MM 的行列式 det(M)\det(M) 和迹trace trace(M)\text{trace}(M) 相关。 行列式和秩
行列式和秩是线性代数中两个非常重要的概念它们在数学和工程中具有广泛的应用。它们不仅描述了矩阵本身的性质还在解方程、特征值问题、几何学、图像处理等领域中起着重要作用。下面是对这两个概念的详细解释和它们的实际意义
1. 行列式 (Determinant)
行列式是一个数值表示矩阵在某些变换下的伸缩因子反映了矩阵的“规模”或“体积”变化。行列式通常仅定义于方阵即行数和列数相等的矩阵。
行列式的定义
对于一个 n × n n \times n n×n 的方阵 A [ a i j ] A [a_{ij}] A[aij]行列式记作 det ( A ) \det(A) det(A) 或 ∣ A ∣ |A| ∣A∣它是通过递归的方式计算的。对一个 $2 \times 2 $矩阵 A [ a b c d ] , det ( A ) a d − b c A \begin{bmatrix} a b \\ c d \end{bmatrix}, \quad \det(A) ad - bc A[acbd],det(A)ad−bc 对于更高维的矩阵行列式的计算则涉及到展开式。
行列式的几何意义
行列式可以用来度量由矩阵表示的线性变换对空间体积的改变。对于一个方阵 A A A
行列式的绝对值 ∣ det ( A ) ∣ |\det(A)| ∣det(A)∣ 表示矩阵对应的线性变换对单位体积的 扩展 或 缩放。例如二维矩阵的行列式 ∣ det ( A ) ∣ |\det(A)| ∣det(A)∣ 表示通过该变换后的单位平行四边形的面积三维矩阵的行列式 $|\det(A)| $表示变换后的单位立方体的体积。行列式的符号如果 det ( A ) 0 \det(A) 0 det(A)0表示该线性变换没有改变空间的方向例如旋转或缩放如果 det ( A ) 0 \det(A) 0 det(A)0则表示空间的方向发生了反转例如镜像反射。
行列式的实际意义
矩阵是否可逆行列式是判断矩阵是否可逆的重要工具。如果 det ( A ) 0 \det(A) 0 det(A)0矩阵 A A A 不可逆即矩阵的列或行线性相关表示矩阵在某些变换下将空间压缩到低维度。反之如果 det ( A ) ≠ 0 \det(A) \neq 0 det(A)0则矩阵是可逆的。求解线性方程组行列式可以用来判断线性方程组是否有唯一解。如果系数矩阵的行列式为零方程组可能没有解或有无穷多解。变换后的几何体积在计算几何中行列式可以用来计算空间变换如旋转、缩放、剪切对几何体积的影响。
2. 秩 (Rank)
秩是矩阵的一个重要概念它描述了矩阵的线性独立性和有效维度。矩阵的秩反映了矩阵中行或列的最大线性独立数目。
秩的定义
对于一个 m × n m \times n m×n 的矩阵 A A A其秩 rank ( A ) \text{rank}(A) rank(A) 是矩阵中线性无关的行或列的最大数量。秩有以下几种定义方式
行秩矩阵中最大数量的线性无关的行。列秩矩阵中最大数量的线性无关的列。
根据 秩-零化定理对于任意矩阵其行秩等于列秩。
秩的几何意义
秩可以看作是矩阵在空间中所能“张成”的最大维度
秩为 0矩阵的所有行和列都是线性相关的表示矩阵将整个空间压缩到一个点或一条直线。秩为 1矩阵的行或列之间有一定的线性关系但它们可以张成一条直线。秩为 2矩阵的行或列可以张成一个平面。秩为 3矩阵的行或列可以张成整个三维空间。
秩的实际意义
线性独立性矩阵的秩反映了其列或行向量的线性独立性。如果矩阵的秩等于矩阵的列数对于列满秩矩阵那么矩阵的列是线性无关的反之则存在线性相关的列。可逆性如果矩阵是 n × n n \times n n×n 的方阵且秩为 n n n则矩阵是可逆的。矩阵的降维性秩可以用来衡量矩阵数据的有效维度。在机器学习和信号处理中秩常常与降维例如PCA、SVD等相关秩较小的矩阵表示数据的有效维度较低。解线性方程组秩也可以用来判断线性方程组的解的个数。如果系数矩阵的秩小于方程组的未知数个数方程组将有无穷多解如果秩等于未知数的个数且等于增广矩阵的秩则方程组有唯一解。
3. 行列式和秩的关系
行列式和秩在判断矩阵是否可逆方面密切相关 如果矩阵的秩等于矩阵的行数对于方阵则行列式非零矩阵可逆。如果矩阵的秩小于行数对于方阵则行列式为零矩阵不可逆。
总结
行列式反映了矩阵变换的规模和方向性特别是对几何体积和变换的影响。如果行列式为零矩阵是奇异的表示空间被压缩至低维。秩反映了矩阵的线性独立性和它在空间中张成的有效维度。秩为零表示没有有效维度秩为最大值则表示矩阵完全张成空间。
这两个概念在许多实际问题中都非常重要尤其在数据分析、信号处理、优化、计算几何等领域有着广泛的应用。 代码
#include pcl/io/pcd_io.h
#include pcl/point_types.h
// 包含相关头文件
#include pcl/keypoints/harris_3d.h
#include resolution.h // 用于计算模型分辨率
typedef pcl::PointXYZ PointT;
int main(int argc, char** argv)
{// 读取点云pcl::PointCloudPointT::Ptr cloud(new pcl::PointCloudPointT);pcl::io::loadPCDFile(argv[1], *cloud);std::cout original cloud size : cloud-size() std::endl;double resolution computeCloudResolution(cloud);pcl::search::KdTreepcl::PointXYZ::Ptr tree(new pcl::search::KdTreepcl::PointXYZ());pcl::HarrisKeypoint3DPointT, pcl::PointXYZI detector;pcl::PointCloudpcl::PointXYZI::Ptr keypoints_temp(new pcl::PointCloudpcl::PointXYZI);detector.setNonMaxSupression(true);detector.setRadiusSearch(10 * resolution);detector.setThreshold(1E-6);detector.setSearchMethod(tree); // 不写也可以默认构建kdtreedetector.setInputCloud(cloud);detector.compute(*keypoints_temp);pcl::console::print_highlight(Detected %d points !\n, keypoints_temp-size());pcl::PointCloudPointT::Ptr keys(new pcl::PointCloudpcl::PointXYZ);pcl::copyPointCloud(*keypoints_temp, *keys);system(pause);return 0;
}你提供的代码实现了一个 Harris 3D 关键点检测 的功能它是基于 PCLPoint Cloud Library库的。这个代码的作用是从点云数据中检测关键点通常用于点云的特征提取、配准或者其他三维处理任务。让我详细解析一下代码中的每个关键部分及其作用。
代码解析
1. 读取点云数据
pcl::PointCloudPointT::Ptr cloud(new pcl::PointCloudPointT);
pcl::io::loadPCDFile(argv[1], *cloud);
std::cout original cloud size : cloud-size() std::endl;这部分代码使用 PCL 库的 pcl::io::loadPCDFile 函数从 PCD 文件点云文件格式加载数据并将其存储在 cloud 变量中。PointT 是点云数据类型pcl::PointXYZ 表示三维坐标的点x, y, z。读取点云之后输出原始点云的大小。
2. 计算模型分辨率
double resolution computeCloudResolution(cloud);这行代码计算了点云的分辨率computeCloudResolution 是一个外部函数可能根据点云的稀疏程度或其他特性来计算。
3. 初始化 Kd-Tree
pcl::search::KdTreepcl::PointXYZ::Ptr tree(new pcl::search::KdTreepcl::PointXYZ());使用 Kd-Tree 结构作为邻域搜索的基础。Kd-Tree 是一种高效的数据结构用于在点云中寻找最近邻点。
4. 初始化 Harris 3D 关键点检测器
pcl::HarrisKeypoint3DPointT, pcl::PointXYZI detector;HarrisKeypoint3D 是 PCL 库中实现的三维 Harris 关键点检测算法。它用于检测点云中显著的几何变化点如角点或边缘点。
5. 设置 Harris 3D 关键点检测的参数
detector.setNonMaxSupression(true); // 启用非极大值抑制
detector.setRadiusSearch(10 * resolution); // 搜索半径取决于点云分辨率
detector.setThreshold(1E-6); // 阈值用于控制检测到的关键点的显著性
detector.setSearchMethod(tree); // 使用之前构建的 KdTree 进行邻域搜索
detector.setInputCloud(cloud); // 输入点云数据setNonMaxSupression(true)启用非极大值抑制确保关键点是局部区域中最显著的点。setRadiusSearch(10 * resolution)设置邻域搜索的半径为 10 * resolution这是与点云分辨率相关的一个参数。setThreshold(1E-6)设置关键点检测的阈值。小的阈值通常表示只有显著的变异区域才会被检测为关键点。setSearchMethod(tree)指定使用 Kd-Tree 进行邻域查询以加速搜索过程。setInputCloud(cloud)将输入的点云数据传递给检测器。
6. 计算关键点
pcl::PointCloudpcl::PointXYZI::Ptr keypoints_temp(new pcl::PointCloudpcl::PointXYZI);
detector.compute(*keypoints_temp);这行代码执行 Harris 3D 关键点检测compute 方法会计算关键点并将结果存储到 keypoints_temp 中。
7. 输出检测结果
pcl::console::print_highlight(Detected %d points !\n, keypoints_temp-size());输出检测到的关键点的数量。
8. 转换和存储关键点
pcl::PointCloudPointT::Ptr keys(new pcl::PointCloudpcl::PointXYZ);
pcl::copyPointCloud(*keypoints_temp, *keys);将 keypoints_temp 中的 pcl::PointXYZI 类型的关键点云转换为 pcl::PointXYZ 类型后者只包含位置数据不含强度信息。将结果存储到 keys 中。
9. 程序暂停
system(pause);程序会在此处暂停通常是为了调试时查看输出结果。
主要算法原理
Harris 3D 关键点检测算法是基于 Harris 角点检测 方法的一种三维扩展。其主要思想是利用点云局部区域的 变化率 来检测关键点
对每个点考虑其周围邻域的几何形状。计算该邻域的协方差矩阵通过矩阵的特征值来描述局部结构的变化情况。通过特征值来判断点的显著性特征值较大时表示该点周围的结构变化明显通常是角点、边缘点或其他关键点。非极大值抑制用于去除周围的冗余点确保保留最显著的关键点。
适用场景
特征提取可以用于点云配准、物体识别、三维重建等任务。关键点检测有效地识别点云中的显著几何特征点如角点、边缘点等。
总结
这段代码实现了基于 Harris 3D 方法的点云关键点检测功能通过计算点云的局部几何特性识别出在空间中变化显著的点为后续的点云处理任务提供基础特征。
