网站建设特效素材,科技有限公司的名称应该怎么取名,做企业网站收费价格,中国机械加工网官方例1#xff1a;证明#xff0c;交换群的任何子群都是不变子群。
证#xff1a;设(G,o)是交换群#xff0c;H≤G#xff0c;
对任意的a∈G#xff0c;显然都有aH {a o h|h∈H} {h o a|h∈H} Ha。
所以H⊿G。
【注#xff1a;规范的不变子群符号是一个顶角指向左边…例1证明交换群的任何子群都是不变子群。
证设(G,o)是交换群H≤G
对任意的a∈G显然都有aH {a o h|h∈H} {h o a|h∈H} Ha。
所以H⊿G。
【注规范的不变子群符号是一个顶角指向左边的等腰三角形】 推论
①循环群的子群都是不变子群
②素数阶群的任何子群都是不变子群。 例2证明平凡子群是不变子群。
证设(G,o)是一个群则{e}和G本身是G的平凡子群。
①对∀a∈G
显然a{e} {a o e} {a} {e o a} {e}a
所以{e}是G的不变子群。
②下面证对∀a∈G有aG G Ga
对∀x∈G有x (a o a^(-1)) o x a o (a^(-1) o x)∈aG
即x∈aG从而退出G⊆aG又由aG的定义可知aG⊆G所以G aG
同理可得Ga G
所以G⊿G。 例3证明设(G,o)是一个群若N {n∈G|n o a a o na∈G}则N⊿G。
【这个不变子群称为G的中心记作C(G)。】
证①对∀a∈G有e o a a a o e
所以e∈N即N≠∅
②∀n₁,n₂∈N对∀a∈G
有n₁ o a a o n₁n₂ o a a o n₂
所以(n₁ o n₂) o a n₁ o (n₂ o a) n₁ o (a o n₂) (n₁ o a) o n₂ (a o n₁) o n₂ a o (n₁ o n₂)
所以n₁,n₂∈N
③n₁^(-1) o a (n₁^(-1) o a) o (n₁ o n₁^(-1)) n₁^(-1) o (a o n₁) o n₁^(-1) n₁^(-1) o (n₁ o a) o n₁^(-1) (n₁^(-1) o n₁) o (a o n₁^(-1)) a o n₁^(-1)
根据子群的第一判定定理可得N≤G
④由N的定义易得aN {a o n|n∈N} {n o a|n∈N} Na
所以N⊿G。 例4证明
1K₄⊿A₄
2N {(1),(123),(132)}⊿S₃
3H {(1),(12)}不是S₃的不变子群。
证1①因为K₄ {(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}
对∀a∈K₄均有aK₄ K₄a K₄
②因为(123)K₄ K₄(123) {(123),(134),(243),(142)}所以对∀a∈(123)K₄有aK₄ K₄a (123)K₄
③同②因为(132)K₄ K₄(132) {(132),(143),(234),(124)}所以对∀a∈(132)K₄有aK₄ K₄a (132)K₄
同理可推出对∀a∈A₄都有aK₄ K₄a
所以K₄⊿A₄。
2已知N是S₃的子群运用1中同样的枚举法易得对∀a∈S₃有aN Na从而N⊿S₃。
3H {(1),(12)}≤S₃但对于(123)∈S₃(123)H {(123),(13)}而H(123) {(123),(23)}即(123)H ≠ H(123)所以不满足不变子群的条件
∴H不是S₃的不变子群。
[注aN Na并不是说a和N中的每一个元都适合交换律而仅仅是作为集合它们是相等的。] 待续……
