广州网站建设工作室招聘,电话号码查企业黄页,西安企业培训,华为手表网站以下是关于下三角矩阵L的行列式一定等于-1的一些说明 笔者的一些话(写在最前面)#xff1a; 这是一篇小文#xff0c;是我写的关于求解矩阵行列式的一篇文章中的一部分。之所以把这一段专门提溜出来#xff0c;是因为这一段相对于原文是可以完全独立的#xff0c;也是因为我… 以下是关于下三角矩阵L的行列式一定等于-1的一些说明 笔者的一些话(写在最前面) 这是一篇小文是我写的关于求解矩阵行列式的一篇文章中的一部分。之所以把这一段专门提溜出来是因为这一段相对于原文是可以完全独立的也是因为我自认为这是原文中很精彩的一段论证。为了便于我自己后续翻阅和查找也是为了给我CSDN文章里面凑数这才有了这篇文章。 证明在LU分解中下三角矩阵L的行列式一定是. 在证明之前我这里先补充几条关于行列式的性质
性质1对于三角矩阵而言不论是上三角矩阵还是下三角矩阵其行列式的值都等于主对角线上元素的乘积。 此处引用Gilbert strang的线性代数教科书《introduction to linear algebra》中第251页处的一段关于矩阵行列式的相应说明 截图中第七条性质说如果矩阵A是一个三角矩阵则矩阵A的行列式等于其对角线上元素的乘积。 性质2两个矩阵AB的积AB的行列式|AB|等于这两个矩阵各自的行列式|A|和|B|的积即 性质3单位矩阵I的行列式为1。 性质4对矩阵进行行与行之间的交换后需要改变原矩阵行列式的正负号。 在LU分解中下三角阵L是高斯消元的逆过程是多个消元矩阵E的逆矩阵的乘积(形如下图中的矩阵)。 首先根据上面说的性质1可知所有消元矩阵E的逆矩阵的行列式等于其对角线上所有元素的乘积。又因为矩阵对角线上元素都是1所以的行列式一定等于1。此外根据性质2L的行列式等于多个的行列的乘积所以L的行列式必然等于1即 可是如果对矩阵A进行高斯消元的过程中遇到对角线上的元素为0的情况就需要对矩阵进行行交换则上式就会包含一些置换矩阵 这种情况下计算出来的L矩阵可就不一定是标准的下三角矩阵了比如说下面这个矩阵 这样一来就需要对L矩阵进行行交换把他变成标准的下三角矩阵以确保他的det等于1。而交换的过程需要用置换矩阵P记录下来使得原来的L变成PL(这时的L已经是标准的下三角矩阵了)。因为置换矩阵P只不过是对单位矩阵I进行行交换后的结果因此综合性质3和性质4可知置换矩阵P的行列式的值只能是1或-1。在结合前面得出的L矩阵的行列式一定是1的结论最终PL的行列式只能是1或-1。 因此当我们基于矩阵A的LU分解计算出L的det后(必然是1)如果高斯消元的过程中进行过行交换还要再根据行交换的次数(置换矩阵P)去调整det的符号。 事实上在matlab中自带的计算矩阵行列式的det函数就利用了这一点。 按照Matlab的官方说明文档首先他在计算矩阵的det时先调了lu分解函数对矩阵进行分解。 注意matlab的lu分解函数有很多只是他在计算行列式时调用的是[L,U]lu(A)。 按照他官方文档的说法分解后的L矩阵和U矩阵中L矩阵有被置换过也就不是标准的三角矩阵。这和我们前面提到的如果消元时进行过行交换的情况是一致的。 然后对这个“经过置换的下三角矩阵L”进行行交换并记录交换过程得到 最后一步求出矩阵U(他一定是一个标准的上三角矩阵)中主对角线上所有元素的乘积然后和前一步的结果相乘得到矩阵A的行列式 例子 全文完
作者 --- 松下J27 参考文献(鸣谢)
1https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant
2Determinant of a Matrix
3矩阵行列式 - MATLAB det- MathWorks 中国
4线性代数 --- LU分解Gauss消元法的矩阵表示_矩阵的lu分解-CSDN博客
5线性代数 --- Gauss消元的部分主元法和完全主元法_部分选主元高斯matlab-CSDN博客 配图与本文无关 版权声明所有的笔记可能来自很多不同的网站和说明在此没法一一列出如有侵权请告知立即删除。欢迎大家转载但是如果有人引用或者COPY我的文章必须在你的文章中注明你所使用的图片或者文字来自于我的文章否则侵权必究。 ----松下J27
