青岛网站设计哪家好,前端个人介绍网站模板下载,凡科网站建站教程,商业网站的后缀一般为文章目录 直线与二元一次方程两直线夹角直线方程斜率两点式方程截距式方程将不同形式的直线方程转换为截距方程直线的一般方程直线一般方程的系数有一个或两个为零的直线 参考文献 直线与二元一次方程
两直线夹角 两直线 y 1 k 1 x b 1 , y 2 k 2 x b 2 形成夹角 a 1 和 a… 文章目录 直线与二元一次方程两直线夹角直线方程斜率两点式方程截距式方程将不同形式的直线方程转换为截距方程直线的一般方程直线一般方程的系数有一个或两个为零的直线 参考文献 直线与二元一次方程
两直线夹角 两直线 y 1 k 1 x b 1 , y 2 k 2 x b 2 形成夹角 a 1 和 a 2 两个角都可作为夹角取其即可但通常来说取正值的角 a 1 两直线y_1k_1xb_1,y_2k_2xb_2形成夹角a1和a2两个角都可作为夹角取其即可但通常来说取正值的角a1 两直线y1k1xb1,y2k2xb2形成夹角a1和a2两个角都可作为夹角取其即可但通常来说取正值的角a1 如上图所示 : a 1 ( − a 2 ) π , b a 1 a 2 , a 1 a 2 − b 如上图所示:a1(-a2)\pi,ba1a2,a1a2-b 如上图所示:a1(−a2)π,ba1a2,a1a2−b t g ( a 2 ) t g ( a 1 ± π ) t g ( a 1 ) tg(a2)tg(a1\pm\pi)tg(a1) tg(a2)tg(a1±π)tg(a1) t g ( a ) k 2 − k 1 1 k 2 k 1 tg(a)\frac {k_2-k_1}{1k_2k_1} tg(a)1k2k1k2−k1 两直线的夹角问题是解析几何中的一个基本问题。 为了求解两直线的夹角我们首先需要明确两直线的方程并转化为斜截式或一般式。然后我们可以利用直线的斜率如果存在或方向向量的夹角来求解。 下面内容由文心一言自动生成 方法一利用斜率当直线斜率存在时 假设两直线的方程分别为 y k 1 x b 1 y k_1x b_1 yk1xb1 y k 2 x b 2 y k_2x b_2 yk2xb2 其中 k 1 k_1 k1 和 k 2 k_2 k2 是两直线的斜率 b 1 b_1 b1 和 b 2 b_2 b2 是截距。 计算斜率差 斜率差 Δ k k 2 − k 1 \Delta k k_2 - k_1 Δkk2−k1。 利用斜率计算夹角 两直线的夹角 θ \theta θ 可以通过以下公式计算注意这里计算的是锐角或直角如果需要钝角则取补角 tan θ ∣ k 2 − k 1 1 k 1 k 2 ∣ \tan \theta \left| \frac{k_2 - k_1}{1 k_1k_2} \right| tanθ 1k1k2k2−k1 然后利用反正切函数 arctan \arctan arctan 求出 θ \theta θ 的值注意 arctan \arctan arctan 的值域是 ( − π 2 , π 2 ) (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) (−2π,2π)因此可能需要调整结果以匹配实际情况。 如果 θ \theta θ 是以度为单位可以使用 θ degrees ( arctan ( ⋯ ) ) \theta \text{degrees}(\arctan(\cdots)) θdegrees(arctan(⋯)) 进行转换。 方法二利用方向向量当直线方程为一般式时 如果直线方程为一般式 A x B y C 0 Ax By C 0 AxByC0则直线的方向向量可以由系数 A A A 和 B B B 决定即 v ⃗ ( B , − A ) \vec{v} (B, -A) v (B,−A)注意这里的方向向量不是唯一的因为任何非零标量倍数的向量都表示相同的方向。 求两直线的方向向量 假设两直线的方程分别为 A 1 x B 1 y C 1 0 A_1x B_1y C_1 0 A1xB1yC10 和 A 2 x B 2 y C 2 0 A_2x B_2y C_2 0 A2xB2yC20则它们的方向向量分别为 v 1 ⃗ ( B 1 , − A 1 ) \vec{v_1} (B_1, -A_1) v1 (B1,−A1) 和 v 2 ⃗ ( B 2 , − A 2 ) \vec{v_2} (B_2, -A_2) v2 (B2,−A2)。 计算两向量的点积和模长 点积 v 1 ⃗ ⋅ v 2 ⃗ B 1 B 2 ( − A 1 ) ( − A 2 ) A 1 A 2 B 1 B 2 \vec{v_1} \cdot \vec{v_2} B_1B_2 (-A_1)(-A_2) A_1A_2 B_1B_2 v1 ⋅v2 B1B2(−A1)(−A2)A1A2B1B2。 模长 ∣ v 1 ⃗ ∣ A 1 2 B 1 2 |\vec{v_1}| \sqrt{A_1^2 B_1^2} ∣v1 ∣A12B12 ∣ v 2 ⃗ ∣ A 2 2 B 2 2 |\vec{v_2}| \sqrt{A_2^2 B_2^2} ∣v2 ∣A22B22 。 利用夹角公式 两向量的夹角 θ \theta θ 可以通过以下公式计算 cos θ v 1 ⃗ ⋅ v 2 ⃗ ∣ v 1 ⃗ ∣ ⋅ ∣ v 2 ⃗ ∣ A 1 A 2 B 1 B 2 A 1 2 B 1 2 A 2 2 B 2 2 \cos \theta \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|} \frac{A_1A_2 B_1B_2}{\sqrt{A_1^2 B_1^2} \sqrt{A_2^2 B_2^2}} cosθ∣v1 ∣⋅∣v2 ∣v1 ⋅v2 A12B12 A22B22 A1A2B1B2 然后利用反余弦函数 arccos \arccos arccos 求出 θ \theta θ 的值。 注意 当直线垂直于x轴时斜率不存在此时应直接利用方向向量或直线的特殊性质求解。夹角 θ \theta θ 的取值范围通常是 [ 0 , π 2 ] [0, \frac{\pi}{2}] [0,2π]但根据题目要求可能需要考虑钝角的情况。在实际应用中可能需要根据具体情况选择最合适的方法。 两直线 y 1 8 x 9 与 y 2 − 3 x − 5 的交角 a ? y_18x9与y_2-3x-5的交角a? y18x9与y2−3x−5的交角a? k 1 8 , k 2 − 3 t g ( a ) k 2 − k 1 1 k 2 k 1 − 3 − 8 1 ( − 3 × 8 ) − 11 1 − 24 11 23 k_18,k_2-3 \\tg(a)\frac {k_2-k_1}{1k_2k_1} \\\frac {-3-8}{1(-3\times8)} \\\frac {-11}{1-24}\frac {11} {23} k18,k2−3tg(a)1k2k1k2−k11(−3×8)−3−81−24−112311
# 计算11/23的反正切值并将结果从弧度转换为度
x 11/23
y_rad atan(x)
y_deg rad2deg(y_rad) println(The arctan of , x, in radians is , y_rad)
println(The arctan of , x, in degrees is , y_deg)The arctan of 0.4782608695652174 in radians is 0.44610554894340365
The arctan of 0.4782608695652174 in degrees is 25.559965171823812* Terminal will be reused by tasks, press any key to close it. a 25.5 6 ∘ a 25.56^\circ a25.56∘
两直线 y 1 − 8 x 9 与 y 2 3 x − 5 的交角 a ? y_1-8x9与y_23x-5的交角a? y1−8x9与y23x−5的交角a? k 1 − 8 , k 2 3 t g ( a ) k 2 − k 1 1 k 2 k 1 3 8 1 3 × ( − 8 ) 11 1 − 24 − 11 23 a r c t a n ( − 11 / 23 ) − 0.45 k_1-8,k_23 \\tg(a)\frac {k_2-k_1}{1k_2k_1} \\\frac {38}{13\times(-8)} \\\frac {11}{1-24}-\frac {11} {23} \\arctan(-11/23)-0.45 k1−8,k23tg(a)1k2k1k2−k113×(−8)381−2411−2311arctan(−11/23)−0.45
# 计算-11/23的反正切值并将结果从弧度转换为度
x -11/23
y_rad atan(x)
y_deg rad2deg(y_rad) println(The arctan of , x, in radians is , y_rad)
println(The arctan of , x, in degrees is , y_deg)The arctan of -0.4782608695652174 in radians is -0.44610554894340365
The arctan of -0.4782608695652174 in degrees is -25.559965171823812a 1 ( − a 2 ) π , a 1 − ( − 25.56 ) 180 , a 1 154.4 4 ∘ a1(-a2)\pi,a1-(-25.56)180,a1154.44^\circ a1(−a2)π,a1−(−25.56)180,a1154.44∘
直线方程
斜率 直线对于 x 轴的倾角平行于 x 轴倾角为 0 0 ≤ a π 直线对于 x轴的倾角平行于x轴倾角为00\le a\lt \pi 直线对于x轴的倾角平行于x轴倾角为00≤aπ 斜率 斜率在数学中特别是解析几何中是一个非常重要的概念。它描述了直线上任意两点间纵坐标差与横坐标差之间的比值也可以理解为直线倾斜的程度。 下面由文心一言自动生成 定义 对于直线上的任意两点 P 1 ( x 1 , y 1 ) P_1(x_1, y_1) P1(x1,y1) 和 P 2 ( x 2 , y 2 ) P_2(x_2, y_2) P2(x2,y2)其中 x 1 ≠ x 2 x_1 \neq x_2 x1x2直线的斜率 k k k 定义为 k y 2 − y 1 x 2 − x 1 k \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} kx2−x1y2−y1 这个公式告诉我们斜率 k k k 是直线上升或下降的“速度”或“比率”。 性质 斜率与倾斜角斜率 k k k 与直线向上的倾斜角 α \alpha α 的关系是 k tan ( α ) k \tan(\alpha) ktan(α)其中 α ∈ [ 0 , π ) \alpha \in [0, \pi) α∈[0,π)。斜率与直线方向 当 k 0 k 0 k0 时直线从左下方向右上方倾斜。当 k 0 k 0 k0 时直线从左上方向右下方倾斜。当 k 0 k 0 k0 时直线与x轴平行或重合。当 k k k 不存在即 x 1 x 2 x_1 x_2 x1x2时直线与y轴平行或重合。 斜率与垂直如果两条直线的斜率分别为 k 1 k_1 k1 和 k 2 k_2 k2且 k 1 × k 2 − 1 k_1 \times k_2 -1 k1×k2−1则这两条直线垂直。 应用 斜率在日常生活和工程中有广泛的应用如 在地图和导航中斜率可以帮助我们理解地形的起伏。在建筑和土木工程中斜率用于计算斜坡的稳定性和设计排水系统。在经济学中斜率用于分析供需曲线和边际效用等概念。 示例 考虑直线上的两点 A ( 1 , 2 ) A(1, 2) A(1,2) 和 B ( 4 , 6 ) B(4, 6) B(4,6)求这条直线的斜率。 解根据斜率的定义有 k y 2 − y 1 x 2 − x 1 6 − 2 4 − 1 4 3 k \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \frac{6 - 2}{4 - 1} \frac{4}{3} kx2−x1y2−y14−16−234 所以这条直线的斜率为 4 3 \frac{4}{3} 34。 斜率方程 斜率作为数学中的一个重要概念主要用于描述直线或曲线的倾斜程度。 斜率有多种表示方法以下是一些常见的斜率方程和公式 以下内容由文心一言自动生成 1. 两点式斜率公式 对于直线上的两点 P 1 ( x 1 , y 1 ) P_1(x_1, y_1) P1(x1,y1) 和 P 2 ( x 2 , y 2 ) P_2(x_2, y_2) P2(x2,y2)且 x 1 ≠ x 2 x_1 \neq x_2 x1x2直线的斜率 k k k 可以用以下公式表示 k y 2 − y 1 x 2 − x 1 k \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} kx2−x1y2−y1 这个公式直接通过两点间的纵坐标差与横坐标差来计算斜率是最基本的斜率计算方法。 2. 斜截式方程 对于一条不垂直于x轴的直线如果已知其斜率 k k k 和在y轴上的截距 b b b则该直线可以表示为斜截式方程 y k x b y kx b ykxb 其中 k k k 就是直线的斜率。 3. 点斜式方程 如果已知直线上的一点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0, y_0) P(x0,y0) 和直线的斜率 k k k则该直线可以表示为点斜式方程 y − y 0 k ( x − x 0 ) y - y_0 k(x - x_0) y−y0k(x−x0) 这个方程通过点和斜率来确定直线的位置。 4. 一般式方程中的斜率 对于直线的一般式方程 A x B y C 0 Ax By C 0 AxByC0其中 A , B A, B A,B 不同时为0直线的斜率 k k k 可以用以下公式表示 k − A B k -\frac{A}{B} k−BA 这个公式通过直线的一般式方程来求解斜率。注意当 B 0 B 0 B0 时直线垂直于x轴此时斜率不存在。 5. 斜率与倾斜角的关系 斜率 k k k 与直线向上的倾斜角 α \alpha α其中 α ∈ [ 0 , π ) \alpha \in [0, \pi) α∈[0,π)的关系是 k tan ( α ) k \tan(\alpha) ktan(α)。这个关系建立了斜率与直线倾斜角之间的直接联系。 总结 斜率是描述直线或曲线倾斜程度的重要参数在解析几何中有多种表示方法。常见的斜率方程包括两点式斜率公式、斜截式方程、点斜式方程以及一般式方程中的斜率表示。此外斜率还与直线的倾斜角有直接的数学关系。 两点式方程
两点式方程也称为两点式直线方程是描述一条直线通过两个已知点 P 1 ( x 1 , y 1 ) P_1(x_1, y_1) P1(x1,y1) 和 P 2 ( x 2 , y 2 ) P_2(x_2, y_2) P2(x2,y2)且 x 1 ≠ x 2 x_1 \neq x_2 x1x2的方程。这个方程直接由两点的坐标和直线的斜率得出但更常见的形式是直接从两点坐标出发避免显式地计算斜率。 以下内容由文心一言自动生成 两点式方程可以表示为 y − y 1 y 2 − y 1 x − x 1 x 2 − x 1 \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} y2−y1y−y1x2−x1x−x1 这个方程表示的是对于直线上的任意一点 ( x , y ) (x, y) (x,y)其坐标 ( x , y ) (x, y) (x,y) 与已知点 P 1 ( x 1 , y 1 ) P_1(x_1, y_1) P1(x1,y1) 和 P 2 ( x 2 , y 2 ) P_2(x_2, y_2) P2(x2,y2) 的坐标之间的关系。这个方程实际上是通过斜率相等即两点间纵坐标差与横坐标差之比相等来定义的但在这里我们直接使用了坐标来表示。 注意当 x 1 x 2 x_1 x_2 x1x2 时即两点横坐标相同直线垂直于x轴此时方程不适用因为分母会为零而应该直接写出 x x 1 x x_1 xx1或 x x 2 x x_2 xx2作为直线的方程。 另外虽然两点式方程在形式上与斜率公式有些相似但它更侧重于通过两个点的坐标来直接描述直线而无需显式地计算出斜率。在实际应用中如果已知直线上的两个点使用两点式方程可以非常方便地表示出这条直线。 截距式方程
截距式方程是直线方程的一种形式它特别适用于描述一条直线与坐标轴的交点即截距已知的情况。 以下内容由文心一言自动生成 对于一条直线如果它在x轴上的截距为 a a a即直线与x轴交于点 ( a , 0 ) (a,0) (a,0)在y轴上的截距为 b b b即直线与y轴交于点 ( 0 , b ) (0,b) (0,b)且 a ≠ 0 a \neq 0 a0 b ≠ 0 b \neq 0 b0则这条直线的截距式方程可以表示为 x a y b 1 \frac{x}{a} \frac{y}{b} 1 axby1 这个方程表示的是对于直线上的任意一点 ( x , y ) (x, y) (x,y)其横坐标 x x x与 a a a的比值加上纵坐标 y y y与 b b b的比值等于1。 需要注意的是当直线与x轴或y轴平行时截距式方程可能不适用。具体来说 如果直线与x轴平行即斜率为0则 b b b为无穷大此时方程不适用而应该直接写出 y c y c yc其中 c c c为常数的形式。如果直线与y轴平行即斜率不存在则 a a a为0此时方程同样不适用而应该直接写出 x d x d xd其中 d d d为常数的形式。 但在实际应用中我们通常会避免使用截距式方程来描述与坐标轴平行的直线而是直接采用斜截式 y m x b y mx b ymxb其中 m m m为斜率 b b b为y轴截距或点斜式 y − y 1 m ( x − x 1 ) y - y_1 m(x - x_1) y−y1m(x−x1)其中 ( x 1 , y 1 ) (x_1, y_1) (x1,y1)为直线上一点 m m m为斜率等其他形式。 另外如果直线过原点即与两坐标轴的截距都为0则截距式方程也不适用此时应直接写出 y k x y kx ykx其中 k k k为斜率的形式。但需要注意的是在原点处截距式方程 x 0 y 0 1 \frac{x}{0} \frac{y}{0} 1 0x0y1是无意义的因此不能用于描述过原点的直线。 例题 以下内容由文心一言自动生成 以下是一些关于截距式方程的例题及其解答 例题1 已知直线与x轴的交点为 ( 3 , 0 ) (3,0) (3,0)与y轴的交点为 ( 0 , 4 ) (0,4) (0,4)求该直线的截距式方程。 解答 根据截距式方程的定义直接写出 x 3 y 4 1 \frac{x}{3} \frac{y}{4} 1 3x4y1 例题2 已知直线在x轴和y轴上的截距分别为 − 2 -2 −2和 5 5 5求该直线的截距式方程。 解答 注意截距可以是负数所以直接写出 x − 2 y 5 1 \frac{x}{-2} \frac{y}{5} 1 −2x5y1通常我们保留原始形式即 x − 2 y 5 1 \frac{x}{-2} \frac{y}{5} 1 −2x5y1 例题3 已知直线过点 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2)和 ( 3 , 0 ) (3,0) (3,0)求该直线的截距式方程。 解答 首先我们需要找到这条直线与x轴和y轴的交点。 与x轴的交点令 y 0 y0 y0解方程得到x坐标。但这里我们已知一个点为 ( 3 , 0 ) (3,0) (3,0)所以与x轴的交点为 ( 3 , 0 ) (3,0) (3,0)。与y轴的交点令 x 0 x0 x0由于我们不知道y坐标需要先求出直线的斜率。斜率 k y 2 − y 1 x 2 − x 1 0 − 2 3 − 1 − 1 k \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \frac{0 - 2}{3 - 1} -1 kx2−x1y2−y13−10−2−1。然后利用点斜式方程 y − y 1 k ( x − x 1 ) y - y_1 k(x - x_1) y−y1k(x−x1)取 x 1 0 , y 1 y x_1 0, y_1 y x10,y1yy为y轴截距待求得到 y − y − 1 ( 0 − 1 ) y - y -1(0 - 1) y−y−1(0−1)解得 y 1 y 1 y1。所以与y轴的交点为 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)。 现在我们可以写出截距式方程 x 3 y 1 1 \frac{x}{3} \frac{y}{1} 1 3x1y1 简化得 x 3 y 1 \frac{x}{3} y 1 3xy1 注意在例题3中我们实际上并没有直接使用截距式方程的定义来求解而是先通过其他方法找到了与坐标轴的交点。但在某些情况下如果直接给出了与坐标轴的交点或者可以很容易地通过其他方式找到这些交点那么就可以直接使用截距式方程的定义来求解。 另外例题3中的解法也展示了如何在不知道与坐标轴交点的情况下通过其他已知条件如直线上的两点来求解直线的截距式方程。这通常涉及到先求出直线的斜率然后再利用斜率和其他条件来求出与坐标轴的交点。但在本题中由于已经给出了一个与x轴的交点所以我们只需要求出与y轴的交点即可。 将不同形式的直线方程转换为截距方程
将直线方程转换为截距方程主要是要找到这条直线与x轴和y轴的交点即找到x截距和y截距。截距方程的一般形式是 x a y b 1 \frac{x}{a} \frac{y}{b} 1 axby1其中 a a a 是x截距 b b b 是y截距。 以下内容由文心一言自动生成 斜截式方程 y m x b y mx b ymxb x截距令 y 0 y 0 y0解得 x − b m x -\frac{b}{m} x−mb如果 m ≠ 0 m \neq 0 m0。y截距直接给出为 b b b。截距方程 x − b m y b 1 \frac{x}{-\frac{b}{m}} \frac{y}{b} 1 −mbxby1化简得 m x b y b 1 \frac{mx}{b} \frac{y}{b} 1 bmxby1再化简为 x − b m y b 1 \frac{x}{-\frac{b}{m}} \frac{y}{b} 1 −mbxby1注意保持分母形式以符合截距方程的标准形式但通常我们会选择更简洁的形式。 一般式方程 A x B y C 0 Ax By C 0 AxByC0 x截距令 y 0 y 0 y0解得 x − C A x -\frac{C}{A} x−AC如果 A ≠ 0 A \neq 0 A0。y截距令 x 0 x 0 x0解得 y − C B y -\frac{C}{B} y−BC如果 B ≠ 0 B \neq 0 B0。截距方程 x − C A y − C B 1 \frac{x}{-\frac{C}{A}} \frac{y}{-\frac{C}{B}} 1 −ACx−BCy1化简得 − A x C − B y C 1 -\frac{Ax}{C} - \frac{By}{C} 1 −CAx−CBy1。 点斜式方程 y − y 1 m ( x − x 1 ) y - y_1 m(x - x_1) y−y1m(x−x1) 首先将点斜式方程转换为斜截式方程 y m x ( y 1 − m x 1 ) y mx (y_1 - mx_1) ymx(y1−mx1)。然后按照斜截式方程的步骤找到x截距和y截距。最后写出截距方程。 示例 将直线方程 2 x 3 y − 6 0 2x 3y - 6 0 2x3y−60 转换为截距方程。 一般式方程 2 x 3 y − 6 0 2x 3y - 6 0 2x3y−60找x截距令 y 0 y 0 y0解得 x 3 x 3 x3。找y截距令 x 0 x 0 x0解得 y 2 y 2 y2。截距方程 x 3 y 2 1 \frac{x}{3} \frac{y}{2} 1 3x2y1。 注意在转换过程中如果直线与某个坐标轴平行即斜率为0或无穷大则相应的截距为无穷大此时截距方程不适用。但在实际情况下我们通常会避免使用截距方程来描述这样的直线。 直线的一般方程
直线的一般方程是描述直线在二维平面上位置的一种基本方式它通常表示为两个变量的线性组合等于一个常数的形式。具体来说直线的一般方程可以写为 A x B y C 0 Ax By C 0 AxByC0
其中 A A A、 B B B 和 C C C 是常数且 A A A 和 B B B 不能同时为零否则方程将退化为一个常数等于零的无效方程或者只涉及一个变量从而不表示一条直线。 以下内容由文心一言自动生成 几何意义 斜率直线的斜率 m m m如果存在可以通过方程中的系数 A A A 和 B B B 来计算即 m − A B m -\frac{A}{B} m−BA注意当 B 0 B 0 B0 时直线垂直于x轴斜率不存在。截距 x截距直线与x轴的交点即 y 0 y 0 y0 时的 x x x 值可以通过令 y 0 y 0 y0 并解方程 A x C 0 Ax C 0 AxC0 来找到结果为 x − C A x -\frac{C}{A} x−AC如果 A ≠ 0 A \neq 0 A0。y截距直线与y轴的交点即 x 0 x 0 x0 时的 y y y 值可以通过令 x 0 x 0 x0 并解方程 B y C 0 By C 0 ByC0 来找到结果为 y − C B y -\frac{C}{B} y−BC如果 B ≠ 0 B \neq 0 B0。 例题 例题1求直线 3 x − 2 y 4 0 3x - 2y 4 0 3x−2y40 的斜率和与坐标轴的交点。 解答 斜率由方程 3 x − 2 y 4 0 3x - 2y 4 0 3x−2y40 可知 A 3 A 3 A3 B − 2 B -2 B−2所以斜率 m − A B − 3 − 2 3 2 m -\frac{A}{B} -\frac{3}{-2} \frac{3}{2} m−BA−−2323。x截距令 y 0 y 0 y0代入方程得 3 x 4 0 3x 4 0 3x40解得 x − 4 3 x -\frac{4}{3} x−34。y截距令 x 0 x 0 x0代入方程得 − 2 y 4 0 -2y 4 0 −2y40解得 y 2 y 2 y2。 例题2已知直线过点 ( 1 , 2 ) (1, 2) (1,2) 和 ( − 2 , 4 ) (-2, 4) (−2,4)求该直线的一般方程。 解答 首先使用两点式方程 y − y 1 y 2 − y 1 x − x 1 x 2 − x 1 \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} y2−y1y−y1x2−x1x−x1代入点 ( 1 , 2 ) (1, 2) (1,2) 和 ( − 2 , 4 ) (-2, 4) (−2,4)得到 y − 2 4 − 2 x − 1 − 2 − 1 \frac{y - 2}{4 - 2} \frac{x - 1}{-2 - 1} 4−2y−2−2−1x−1。化简得 y − 2 2 − x − 1 3 \frac{y - 2}{2} -\frac{x - 1}{3} 2y−2−3x−1进一步交叉相乘得 3 ( y − 2 ) − 2 ( x − 1 ) 3(y - 2) -2(x - 1) 3(y−2)−2(x−1)。展开并整理得 3 y − 6 − 2 x 2 3y - 6 -2x 2 3y−6−2x2最后得到一般方程 2 x 3 y − 8 0 2x 3y - 8 0 2x3y−80。 直线一般方程的系数有一个或两个为零的直线
在直线的一般方程 A x B y C 0 Ax By C 0 AxByC0 中系数 A A A、 B B B 和 C C C 可以取任意实数但 A A A 和 B B B 不能同时为零否则方程将不表示一条直线。现在我们来讨论当 A A A、 B B B 或 C C C 有一个或两个为零时直线的一般方程所表示的直线特性。 以下内容由文心一言自动生成 当 A 0 A 0 A0 且 B ≠ 0 B \neq 0 B0 时 方程简化为 B y C 0 By C 0 ByC0 或 y − C B y -\frac{C}{B} y−BC。这是一条水平线与y轴平行或重合如果 C 0 C 0 C0 的话斜率为0。 当 A ≠ 0 A \neq 0 A0 且 B 0 B 0 B0 时 方程简化为 A x C 0 Ax C 0 AxC0 或 x − C A x -\frac{C}{A} x−AC。这是一条垂直线与x轴平行或重合如果 C 0 C 0 C0 的话斜率不存在。 当 C 0 C 0 C0 时 方程简化为 A x B y 0 Ax By 0 AxBy0。这是一条过原点的直线除非 A B 0 A B 0 AB0但这种情况已被排除。这条直线的斜率 m − A B m -\frac{A}{B} m−BA如果 B ≠ 0 B \neq 0 B0。 当 A 0 A 0 A0 且 B 0 B 0 B0 但 C ≠ 0 C \neq 0 C0 时 这种情况实际上是不可能的因为方程 0 x 0 y C 0 0x 0y C 0 0x0yC0其中 C ≠ 0 C \neq 0 C0是一个矛盾方程没有解因此不表示任何直线。 特殊情况 A B 0 A B 0 AB0 且 C 0 C 0 C0 方程简化为 0 x 0 y 0 0 0x 0y 0 0 0x0y00。这同样是一个无效方程因为它对所有的 x x x 和 y y y 都成立因此不表示任何特定的直线或点。 综上所述当直线一般方程的系数有一个或两个为零时直线可能是水平线、垂直线、过原点的直线或者方程是无效的不表示任何直线或点。在实际应用中我们通常会避免使用无效的方程并根据具体情况选择最合适的直线表示方式。 参考文献
1.《高等数学讲义》 2.文心一言
