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四叉树和KD树都是用于空间数据索引和检索的树状数据结构。它们通过将空间递归地划分为更小的区域#xff0c;并存储每个区域内的点#xff0c;来实现快速搜索和范围查询。
2. 四叉树
2.1 定义
四叉树是一种树状数据结构#xff0c;它将二维空间递归地划分为四个…1. 简介
四叉树和KD树都是用于空间数据索引和检索的树状数据结构。它们通过将空间递归地划分为更小的区域并存储每个区域内的点来实现快速搜索和范围查询。
2. 四叉树
2.1 定义
四叉树是一种树状数据结构它将二维空间递归地划分为四个相等的子区域直到每个子区域只包含一个点或为空。每个节点代表一个矩形区域并存储该区域内的所有点。
2.2 构建
构建四叉树的过程如下
将整个空间划分为四个相等的子区域。将每个点分配到相应的子区域。递归地对每个子区域进行步骤 1 和 2直到每个子区域只包含一个点或为空。
2.3 搜索
搜索四叉树的过程如下
从根节点开始检查当前节点的区域是否包含目标点。如果包含则递归地搜索该节点的四个子节点。如果不包含则搜索失败。
2.4 范围查询
范围查询是指查找所有位于给定矩形区域内的点。搜索过程与搜索单个点类似但需要遍历所有与查询区域相交的节点。
2.5 Kotlin 代码演示 data class Point(val x: Double, val y: Double)data class Rectangle(val x: Double, val y: Double, val width: Double, val height: Double) {fun contains(point: Point): Boolean {return point.x x point.x x width point.y y point.y y height}fun intersects(other: Rectangle): Boolean {return !(other.x other.width x ||other.x x width ||other.y other.height y ||other.y y height)}
}class QuadTree(val boundary: Rectangle, val capacity: Int 1) {private var points: MutableListPoint mutableListOf()private var children: ArrayQuadTree? arrayOfNulls(4)fun insert(point: Point): Boolean {if (!boundary.contains(point)) {return false}if (points.size capacity) {points.add(point)return true}if (children[0] null) {subdivide()}for (i in 0..3) {if (children[i]!!.insert(point)) {return true}}return false}private fun subdivide() {val xMid boundary.x boundary.width / 2val yMid boundary.y boundary.height / 2children[0] QuadTree(Rectangle(boundary.x, boundary.y, xMid, yMid), capacity)children[1] QuadTree(Rectangle(xMid, boundary.y, boundary.x boundary.width, yMid), capacity)children[2] QuadTree(Rectangle(boundary.x, yMid, xMid, boundary.y boundary.height), capacity)children[3] QuadTree(Rectangle(xMid, yMid, boundary.x boundary.width, boundary.y boundary.height), capacity)for (point in points) {for (i in 0..3) {if (children[i]!!.insert(point)) {break}}}points.clear()}fun query(range: Rectangle): ListPoint {val foundPoints mutableListOfPoint()if (!boundary.intersects(range)) {return foundPoints}for (point in points) {if (range.contains(point)) {foundPoints.add(point)}}if (children[0] ! null) {for (child in children) {if (child ! null) {foundPoints.addAll(child.query(range))}}}return foundPoints}
}fun main() {val boundary Rectangle(0.0, 0.0, 10.0, 10.0)val quadTree QuadTree(boundary, 4)val points listOf(Point(1.0, 1.0),Point(2.0, 2.0),Point(3.0, 3.0),Point(4.0, 4.0),Point(5.0, 5.0),Point(6.0, 6.0),Point(7.0, 7.0),Point(8.0, 8.0),Point(9.0, 9.0))for (point in points) {quadTree.insert(point)}val queryRange Rectangle(0.0, 0.0, 5.6, 4.4)val foundPoints quadTree.query(queryRange)println(Points in range:)for (point in foundPoints) {println((${point.x}, ${point.y}))}
}
3. KD树
3.1 定义
KD树是一种树状数据结构它将多维空间递归地划分为两个子空间每个子空间由一个超平面分割。每个节点代表一个超矩形区域并存储该区域内的所有点。
3.2 构建
构建KD树的过程如下
选择一个维度作为分割维度并找到该维度上的中位数。使用中位数将空间划分为两个子空间。递归地对每个子空间进行步骤 1 和 2直到每个子空间只包含一个点或为空。
3.3 搜索
搜索KD树的过程如下
从根节点开始检查当前节点的区域是否包含目标点。如果包含则根据目标点的坐标选择相应的子节点进行递归搜索。如果不包含则搜索失败。
3.4 范围查询
范围查询是指查找所有位于给定超矩形区域内的点。搜索过程与搜索单个点类似但需要遍历所有与查询区域相交的节点。
3.5 Kotlin 代码演示 // Define the Point class
internal class Point(var x: Double, var y: Double) {override fun toString(): String {return ($x, $y)}
}// Define the k-d tree node class
internal class KDNode(var point: Point) {var left: KDNode? nullvar right: KDNode? null
}// Define the k-d tree class
internal class KDTree(points: ListPoint) {private val root: KDNode?init {this.root buildTree(points, 0)}private fun buildTree(points: ListPoint, depth: Int): KDNode? {if (points.isEmpty()) {return null}val axis depth % Kval sortedPoints points.sortedWith(Comparator { a, b -if (axis 0) {a.x.compareTo(b.x)} else {a.y.compareTo(b.y)}})val medianIndex sortedPoints.size / 2val node KDNode(sortedPoints[medianIndex])node.left buildTree(sortedPoints.subList(0, medianIndex), depth 1)node.right buildTree(sortedPoints.subList(medianIndex 1, sortedPoints.size), depth 1)return node}fun rangeSearch(lowerLeft: Point, upperRight: Point): ListPoint {val result: MutableListPoint ArrayList()rangeSearch(root, lowerLeft, upperRight, 0, result)return result}private fun rangeSearch(node: KDNode?,lowerLeft: Point,upperRight: Point,depth: Int,result: MutableListPoint) {if (node null) {return}val point node.pointif (point.x lowerLeft.x point.x upperRight.x point.y lowerLeft.y point.y upperRight.y) {result.add(point)}val axis depth % Kif (axis 0) {if (lowerLeft.x point.x) {rangeSearch(node.left, lowerLeft, upperRight, depth 1, result)}if (upperRight.x point.x) {rangeSearch(node.right, lowerLeft, upperRight, depth 1, result)}} else {if (lowerLeft.y point.y) {rangeSearch(node.left, lowerLeft, upperRight, depth 1, result)}if (upperRight.y point.y) {rangeSearch(node.right, lowerLeft, upperRight, depth 1, result)}}}companion object {private const val K 2 // 2-dimensional space, e.g., x, y, z, t, etc}
}// Example usage
object KDTreeExample {JvmStaticfun main(args: ArrayString) {val points: MutableListPoint ArrayList()points.add(Point(0.5, 0.5))points.add(Point(1.0, 1.0))points.add(Point(1.5, 1.5))points.add(Point(2.0, 2.0))points.add(Point(3.0, 3.0))val kdTree KDTree(points)val lowerLeft Point(0.0, 0.0)val upperRight Point(1.5, 2.2)val result kdTree.rangeSearch(lowerLeft, upperRight)for (point in result) {println(point)}}
}
5. 注意事项
四叉树和KD树的构建和搜索时间复杂度取决于数据的分布和查询区域的大小。四叉树和KD树都是用于空间数据索引和检索的有效数据结构。四叉树适用于二维空间而KD树适用于多维空间。在实际应用中可以使用各种优化技术来提高性能例如使用边界框、预分配内存等。对于高维数据KD树的性能可能会下降可以使用其他数据结构例如球树或随机投影树。
