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本文以例子为切入#xff0c;对一些常用的放缩方法进行总结归纳#xff0c;以期让读者对相关问题有一定的应对手段。
例子1
问题#xff1a;2020年高数甲#xff0c;选择题第1题。 lim … 考研数学放缩法和无穷项求和 放缩法专题例子1例子2例子3例子4例子5 放缩法专题
本文以例子为切入对一些常用的放缩方法进行总结归纳以期让读者对相关问题有一定的应对手段。
例子1
问题2020年高数甲选择题第1题。 lim n → ∞ ( 2 n 2 4 n 2 1 ⋯ 2 n n 2 n 1 ) \lim_{n\to\infty}\left( \frac{2}{n^2}\frac{4}{n^21}\cdots \frac{2n}{n^2n1}\right) n→∞lim(n22n214⋯n2n12n)
解答这个问题比较简单只要注意到分母在 n → ∞ n\to\infty n→∞的过程中 n 2 n^2 n2占主导项那么就可以把分母统一起来可以缩小到 n 2 n^2 n2也可以放大到 n 2 n 1 n^2n1 n2n1。
分母统一后注意到 2 4 ⋯ 2 n 2 × n ( n 1 ) 2 24\cdots 2n2\times\frac{n(n1)}{2} 24⋯2n2×2n(n1)那么极限就是分子和分母 n 2 n^2 n2项系数之比。
归纳总结
放缩的项尽量是不重要的项。
类似题目
2017年高数甲选择题第2题2013年高数甲选择题第2题。
例子2
问题2019年高数甲选择题第一题。
求极限 lim n → ∞ [ ( 1 1 2 ! 1 3 ! ⋯ 1 n ! ) ( 1 1 × 3 1 3 × 5 ⋯ 1 ( 2 n − 1 ) × ( 2 n 1 ) ) ] \lim_{n\to\infty}\left[\left(1\frac{1}{2!}\frac{1}{3!}\cdots \frac{1}{n!}\right)\left(\frac{1}{1\times 3}\frac{1}{3\times 5}\cdots \frac{1}{(2n-1)\times (2n1)}\right)\right] n→∞lim[(12!13!1⋯n!1)(1×313×51⋯(2n−1)×(2n1)1)] A. e − 1 2 e-\frac{1}{2} e−21
B. 5 2 \frac{5}{2} 25
C. e 1 2 e\frac{1}{2} e21
D. 7 2 \frac{7}{2} 27
解答这个问题作为选择题比较简单要直接求极限则很复杂。
首先注意到中括号中两项极限肯定都存在。因为这两个求和项都比调和级数小所以一定各自收敛。
那再看第二项 ( 1 1 × 3 1 3 × 5 ⋯ 1 ( 2 n − 1 ) × ( 2 n 1 ) ) \left(\frac{1}{1\times 3}\frac{1}{3\times 5}\cdots \frac{1}{(2n-1)\times (2n1)}\right) (1×313×51⋯(2n−1)×(2n1)1)这里很明显应该用裂项消除来做只要注意到 1 ( 2 n − 1 ) ( 2 n 1 ) 1 2 ( 1 2 n − 1 − 1 2 n 1 ) \frac{1}{(2n-1)(2n1)}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n1}\right) (2n−1)(2n1)121(2n−11−2n11) 那么裂项就可以化成 1 2 ( 1 − 1 3 1 3 − 1 5 ⋯ − 1 2 n 1 ) \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\cdots-\frac{1}{2n1}\right) 21(1−3131−51⋯−2n11) 很显然此项的极限是 1 2 \frac{1}{2} 21。
再看第一项乍一看这是一个很难的极限但注意到选项中出现了 e e e可以意识到它可能和两个重要极限中的 lim n → ∞ ( 1 1 n ) n \lim_{n\to\infty}\left(1\frac{1}{n}\right)^n n→∞lim(1n1)n 曾使用过此项 lim n → ∞ ( 1 1 2 ! 1 3 ! ⋯ 1 n ! ) \lim_{n\to\infty}\left(1\frac{1}{2!}\frac{1}{3!}\cdots \frac{1}{n!}\right) n→∞lim(12!13!1⋯n!1)
这里回顾一下证明重要极限的过程就可以理解了直接用二项式定理公式展开 ( 1 1 n ) n 1 ( n 1 ) 1 n ( n 2 ) 1 n 2 ⋯ ( n n ) 1 n n 1 n 1 ! ⋅ 1 n n ( n − 1 ) 2 ! ⋅ 1 n 2 ⋯ n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − n 1 ) n ! ⋅ 1 n n 1 1 1 2 ! ⋅ n ( n − 1 ) n 2 ⋯ 1 n ! ⋅ n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − n 1 ) n n ≤ 1 1 1 2 ! 1 3 ! ⋯ 1 n ! \begin{aligned} \left(1\frac{1}{n}\right)^n1{n\choose 1}\frac{1}{n}{n\choose 2}\frac{1}{n^2}\cdots {n\choose n}\frac{1}{n^n} \\ 1\frac{n}{1!}\cdot \frac{1}{n}\frac{n(n-1)}{2!}\cdot \frac{1}{n^2}\cdots\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-n1)}{n!}\cdot \frac{1}{n^n} \\ 11\frac{1}{2!}\cdot \frac{n(n-1)}{n^2}\cdots\frac{1}{n!}\cdot \frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-n1)}{n^n} \\ \le 11\frac{1}{2!}\frac{1}{3!}\cdots \frac{1}{n!} \end{aligned} (1n1)n1(1n)n1(2n)n21⋯(nn)nn111!n⋅n12!n(n−1)⋅n21⋯n!n(n−1)(n−2)⋯(n−n1)⋅nn1112!1⋅n2n(n−1)⋯n!1⋅nnn(n−1)(n−2)⋯(n−n1)≤112!13!1⋯n!1
因此 lim n → ∞ ( 1 1 2 ! 1 3 ! ⋯ 1 n ! ) ≥ e − 1 \lim_{n\to\infty}\left(1\frac{1}{2!}\frac{1}{3!}\cdots \frac{1}{n!}\right)\ge e-1 n→∞lim(12!13!1⋯n!1)≥e−1
即使不记得此式也应该记得重要极限的证明过程中怎么确定上限的那就是一个经典的放缩 只需要注意到函数的增长速度 2 n − 1 n ! n n 2^{n-1}n!n^n 2n−1n!nn将阶乘放缩到 n n n^n nn是没用的因为 ∑ n 1 ∞ 1 n n \sum_{n1}^{\infty}\frac{1}{n^n} ∑n1∞nn1求和仍然不好求放缩到 2 n − 1 2^{n-1} 2n−1可以凑等比数列。可以得到 lim n → ∞ ( 1 1 2 ! 1 3 ! ⋯ 1 n ! ) lim n → ∞ ( 1 1 2 1 1 2 2 ⋯ 1 2 n − 1 ) 2 \lim_{n\to\infty}\left(1\frac{1}{2!}\frac{1}{3!}\cdots \frac{1}{n!}\right) \lim_{n\to\infty}\left(1\frac{1}{2^1}\frac{1}{2^2}\cdots \frac{1}{2^{n-1}}\right)2 n→∞lim(12!13!1⋯n!1)n→∞lim(1211221⋯2n−11)2
即便 2 n 2^n 2n是能想象到的最接近 n ! n! n!的函数但两者实际上差距仍然很大所以这两个极限不相等但这个不等关系已经可以排除出正确答案了。因为可以得到原式子一定小于 2 1 2 5 2 2\frac{1}{2}\frac{5}{2} 22125只有A选项符合这个大小。
归纳总结
放缩的原则放缩前后尽量接近放缩后是为了方便求值有时不必保证放缩前后极限相等不等关系也可以选出正确答案要对一些书上经典的证明有所了解很多考试的技巧都在书中经典证明中出现过。
例子3
问题2015年第二大题计算 lim n → ∞ 1 n ( 1 sin π n 1 sin 2 π n ⋯ 1 sin n π n ) \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\left(\sqrt{1\sin{\frac{\pi}{n}}}\sqrt{1\sin{\frac{2\pi}{n}}}\cdots \sqrt{1\sin{\frac{n\pi}{n}}}\right) n→∞limn1(1sinnπ 1sinn2π ⋯1sinnnπ )
解答这个题目看上去也是无穷级数的累加进行适当放缩。但实际上注意到 1 n \frac{1}{n} n1应当把此极限化为定积分来计算。
归纳总结
有些无穷级数累加的极限不要盲目用放缩法能否化为定积分更容易判断。
例子4
问题2004年第1大题计算 lim n → ∞ sin 1 sin 1 2 ⋯ sin 1 n n \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sin1\sin\frac{1}{2}\cdots \sin\frac{1}{n}} n→∞limnsin1sin21⋯sinn1
解答首先检验是否可以定积分计算定积分计算必然需要找出 d x 1 n dx\frac{1}{n} dxn1和定义变量 x x x取值的 i n \frac{i}{n} nix是等间距变化才行而本题目中虽然可以构造 1 / n 1/n 1/n但 sin \sin sin内部的变化不是等间距的因此不能用定积分。
然后检查是否可以裂项或使用三角函数等性质制造连锁的反应以直接求和出来但不管和差化积、倍角公式还是乘 cos \cos cos函数都不能实现此效果。三角函数乘积时容易用性质来做一些操作但这里没有办法化乘积。
最后考虑放缩如果了解一个常用的结论证明方法也很经典可以用均值不等式 lim n → ∞ n n 1 \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}1 n→∞limnn 1 那么对放缩会有一个提前的意识即便开 n n n次根号下是一个函数 n n n增长率是线性的开 n n n次方结果仍会收到 1 1 1。而根号下的求和实际上肯定不如 n n n的。因此基本可以断定这个极限结果必然是 1 1 1为验证此观点放缩可以大胆点 1 sin 1 sin 1 2 ⋯ sin 1 n n 1\sin1\sin\frac{1}{2}\cdots \sin\frac{1}{n}n 1sin1sin21⋯sinn1n 因此 lim n → ∞ 1 n lim n → ∞ sin 1 sin 1 2 ⋯ sin 1 n n lim n → ∞ n n \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1}\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sin1\sin\frac{1}{2}\cdots \sin\frac{1}{n}}\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} n→∞limn1 n→∞limnsin1sin21⋯sinn1 n→∞limnn
总结
要了解一些常用的极限判断要计算的级数的增长数量级对放缩有一定的预估。有些操作如开 n n n次方 x n \sqrt[n]{x} nx 本身会将很大范围内的函数收缩到 1 1 1这时不妨放缩大胆点。
例子5
问题2002年第一题求解 lim n → ∞ cos 1 2 cos 1 4 ⋯ cos 1 2 n \lim_{n\to\infty}\cos\frac{1}{2}\cos\frac{1}{4}\cdots \cos\frac{1}{2^n} n→∞limcos21cos41⋯cos2n1
解答看到三角函数各个取值是2倍关系应当立即想到倍角公式这里只要乘以 sin 1 2 n \sin\frac{1}{2^n} sin2n1即可知道如何做当然别忘了额外乘了什么就要除以什么。
