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二叉搜索树虽然可以提高查找的效率#xff0c;但是如果数据有序或者接近有序#xff0c;二叉搜索树将退化为单支树#xff0c;查找元素相当于在顺序表中搜索元素#xff0c;效率低下。为了解决该问题#xff0c;于是就有了AVLTree。即当向二叉搜索树中插入…1.AVL树的概念
二叉搜索树虽然可以提高查找的效率但是如果数据有序或者接近有序二叉搜索树将退化为单支树查找元素相当于在顺序表中搜索元素效率低下。为了解决该问题于是就有了AVLTree。即当向二叉搜索树中插入新节点后如果能保证每个节点的左右子树高度差的绝对值不超过1(需要对数中的节点进行调整)即可降低树的高度从而减少平均搜索长度。
AVL树可以是空树也可以是具有以下性质的二叉搜索树
1它的左右子树都是AVL树
2左右子树高度差简称平衡因子右子树高度-左子树高度的绝对值不超过1(-1/0/1)。 如果一棵二叉搜索树是高度平衡的该树就是AVL树。如果该树有N个节点其高度可保持在O(logN)搜索时间复杂度O(logN)。
2.实现AVL树
2.1 AVL树节点的定义
由于要实现AVL树的增删查改所以要定义AVL树的节点就需要定义parent否则插入节点时不知道要链接到树中哪个节点下面。
templateclass K,class V
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNodeK, V* _left;//指向左子树AVLTreeNodeK, V* _right;//指向右子树AVLTreeNodeK, V* _parent;//指向父亲节点pairK, V _kv;//用pair存储一对值int _bf;//平衡因子AVLTreeNode(const pairK,V kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_kv(kv),_bf(0){}
};
2.2 AVL树插入节点
AVL树就是在二叉搜索树的基础张引入了平衡因子因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步1.按照二叉搜索树的方式插入新节点2.调整节点的平衡因子。
2.2.1 按二叉搜索树的方式插入新节点
插入新节点需要先判断树是否为空(1)若为空让该节点作为根节点(2)若不为空分为3种情况①要插入节点的key值比当前节点的key值小向左走②要插入节点的key值比当前节点的key值大向右走。③要插入节点的key值与当前节点的key值相等插入失败。
templateclass K,class V
class AVLTree
{typedef AVLTreeNodeK,V Node;
public://往AVLTree中插入节点插入成功返回true插入失败返回falsebool Insert(const pairK, V kv){//1、先按照二叉搜索树的规则插入节点//如果二叉搜索树为空则将新插入的节点作为根节点if (_root nullptr){_root new Node(kv);return true;}Node* parent nullptr;Node* cur _root;while (cur){if (cur-_kv.first kv.first){parent cur;cur cur-_right;}else if (cur-_kv.first kv.first){parent cur;cur cur-_left;}else{return false;}}cur new Node(kv);if (kv.first parent-_kv.first)parent-_right cur;elseparent-_left cur;//反向链接父节点cur-_parent parent;//2、更新平衡因子}private:Node* _root nullptr;
};
2.2.2 调整节点的平衡因子
更新前
在插入新节点之前parent的平衡因子分为三种情况-1、0、1。新节点插入后AVL树的平衡性可能会遭到破坏。一个节点的平衡因子是否需要更新取决于它的左右子树的高度是否发生变化。如果插入节点后它的父节点到根节点路径上的部分节点的平衡因子发生改变那么需要对这些节点进行更新以保持树的平衡。
①如果新增节点插入到父亲节点的左侧(curparent-left)那么父亲节点的平衡因子-1parent-_bf--
②如果新增节点插入到父亲节点的右侧(curparent-right)那么父亲节点的平衡因子1parent-_bf
更新后
此时parent的平衡因子可能有三种情况0、正负1、正负2。
①如果parent的平衡因子为0说明插入新节点之前parent平衡因子为正负1插入新节点后被调整为0此时满足AVL树的性质插入成功
②如果parent的平衡因子为正负1说明插入新节点前parent的平衡因子一定为0插入新节点后被更新为正负1此时以parent为根的树高度增加需要继续向上更新
③如果parent的平衡因子为正负2则parent的平衡因子违反平衡树的性质需要对其进行旋转处理。
//2、更新平衡因子
while (parent)
{//1、首先计算插入节点后父亲节点的平衡因子if (cur parent-_right){parent-_bf;}else{parent-_bf--;}//2、根据更新后的parent节点的平衡因子//进一步判断parent是否需要进行进一步的更新调整if (parent-_bf 0){//parent-_bf0,说明以parent为根节点的子树高度不变更新结束。break;}else if (parent-_bf 1 || parent-_bf -1){//说明以parent为根节点的子树高度变高了继续往上更新cur parent;parent parent-_parent;}else if (parent-_bf 2 || parent-_bf -2){//此时以parent为根节点的子树出现不平衡了需要进行旋转处理。//1、旋转的前提是保持它依旧是搜索二叉树//2、旋转成平衡树if (parent-_bf 2){if (cur-_bf 1){//新节点插入较高右子树的右侧需要进行左单旋RotateL(parent);//左单旋}else if (cur-_bf -1){//新节点插入较高右子树的左侧先右单旋、再左单旋RotateRL(parent);}}else if (parent-_bf -2){if (cur-_bf -1){//新节点插入较高左子树的左侧需要进行右单旋RotateR(parent);}else if (cur-_bf 1){//新节点插入较高左子树的右侧先左单旋、再右单旋RotateLR(parent);}}//旋转完成后子树的高度恢复到了插入节点前的高度//如果是子树对上一层没有影响更新结束。break;}
}
2.2.3 旋转调整
如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点可能造成不平衡此时必须调整树的结构使之恢复平衡。根据节点插入位置的不同AVL树的旋转分为4种。①左单旋、②右单旋、③左右旋转、④右左旋转。
2.2.3.1 新节点插入较高右子树的右侧--左单旋
插入新节点前AVL树是平衡的新节点插入到以60为根节点的右子树那么以60为根节点的右子树增加了一层导致以30为根节点的二叉树不平衡。为了让以30为根节点的二叉树平衡让30的右子树高度减小1并把60的左子树的高度增加1。因此要把60的右子树往上提把30转下来因为30比60小所以30只能放在60的左子树上。而60的左子树节点的值比60小、比30大因此只能将60的左子树放在30的右子树上。如下图所示 此外在写左旋转的代码时还应考虑到以下两种情况
①节点subR的左孩子节点可能存在、也可能不存在
②parent节点可能时根节点也可能时子树如果是根节点左旋转操作只会需要跟新根节点。如果是子树可能是左子树也可能是右子树此时需要将parent节点的父亲节点的左或右指向subR节点subR节点的_parent指针指向parent节点的父亲节点。
//(1)左单旋
void RotateL(Node* parent)
{Node* subR parent-_right;Node* subRL subR-_left;parent-_right subRL;if (subRL)subRL-_parent parent;subR-_left parent;Node* ppNode parent-_parent;parent-_parent subR;//1、如果原来parent是这棵树的根节点左旋转完成后subR节点变成这棵树的根节点if (ppNode nullptr){_root subR;subR-_parent nullptr;}else{if (ppNode-_left parent)ppNode-_left subR;elseppNode-_right subR;subR-_parent ppNode;}//左旋转完成之后调整节点parent和subR的平衡因子parent-_bf subR-_bf 0;
}
2.2.3.2 新节点插入较高左子树的左侧--右单旋
插入节点前AVL树是平衡的新节点插入到节点30的左子树上那么节点30的左子树增加了一层导致以节点60为根节点的二叉树不平衡。为了让以60为根节点的二叉树恢复平衡让30的左子树高度减少一层并把60的右子树的高度增加一层。因此需要将节点30的左子树往上提同时将节点60转下来。因为节点60比节点30大因此只能将节点60放在节点30的右子树上。而节点30的右子树的值比30大、比60小因此只能将节点30的右子树放在节点60的左子树上最后更新平衡因子。如下图所示 //(2)右单旋
void RotateR(Node* parent)
{Node* subL parent-_left;Node* subLR subL-_right;parent-_left subLR;if (subLR)subLR-_parent parent;subL-_right parent;Node* ppNode parent-_parent;parent-_parent subL;if (parent _root){_root subL;subL-_parent nullptr;}else{if (ppNode-_left parent)ppNode-_left subL;elseppNode-_right subL;subL-_parent ppNode;}subL-_bf parent-_bf 0;
}
2.2.3.3 新节点插入较高左子树的右侧--先左单旋再右单旋
插入新节点前AVL树是平衡的新节点插入到以60为根节点的左子树上。那么以60为根节点的左子树增加了一层导致以90为根节点的左子树高度1。为了让以90为根节点的二叉树恢复平衡只能让以90为根节点的左子树的高度减小一层。此时分为两步①先把以30为根的二叉树左单旋②再把以60为根节点的二叉树右单旋。 //(3)左-右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL parent-_left;Node* subLR subL-_right;int bf subLR-_bf;RotateL(parent-_left);RotateR(parent);if (bf 1){parent-_bf 0;subL-_bf -1;subLR-_bf 0;}else if (bf -1){parent-_bf 1;subL-_bf 0;subLR-_bf 0;}else if (bf 0){parent-_bf 0;subL-_bf 0;subLR-_bf 0;}
}
2.2.3.4 新节点插入较高右子树的左侧--先右单旋再左单旋
插入新节点前AVL树是平衡的新节点插入到以60为根节点的二叉树的右子树上那么以60为根节点的右子树增加了一层导致以30为根节点的二叉树不平衡。为了让以30为根节点的二叉树平衡只能让以30为根节点的右子树的高度减小一层。此时需要旋转两次①先把90右单旋②再把30左旋转。 //(4)右-左双旋
void RotateRL(Node*parent)
{Node* subR parent-_right;Node* subRL subR-_left;int bf subRL-_bf;RotateR(parent-_right);RotateL(parent);if (bf 1){parent-_bf -1;subR-_bf 0;subRL-_bf 0;}else if (bf -1){parent-_bf 0;subR-_bf 1;subRL-_bf 0;}else if (bf 0){parent-_bf 0;subR-_bf 0;subRL-_bf 0;}
}
3.AVL树的高度
计算树的高度肯定要借助递归计算①计算左右子树的高度②谁的高度大那么AVL树的高度就为较高子树的高度1。
//2、AVLTree的高度
int _Height(Node* root)
{if (root nullptr)return 0;int leftHeight _Height(root-_left);int rightHeight _Height(root-_right);return leftHeight rightHeight ? leftHeight 1 : rightHeight 1;
}int Height()
{return _Height(_root);
}
4.判断二叉树是否为AVL树
如何检查AVL树是否合法答案是通过平衡因子检查平衡因子反映的是左右子树的高度差计算出左右子树的高度只差并与当前节点的平衡因子进行比较如果发现不同则说明AVL树非法。或者如果当前节点的平衡因子取值范围不再[-1,1]内也可以判断为非法。①获取左右子树的高度②根据左右子树的高度计算平衡因子③当平衡因子2 || -2是就是平衡的。
//3、判断是否是AVL树
bool _IsBalance(Node* root)
{if (root nullptr)return true;int leftHeight _Height(root-_left);int rightHeight _Height(root-_right);return abs(leftHeight - rightHeight) 2 _IsBalance(root-_left) _IsBalance(root-_right);
}bool IsBalance()
{return _IsBalance(_root);
}
4.AVL树的性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1这样可以保证查询时高效的时间复杂度即O(logN)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作性能非常低下比如插入时要维护其绝对平衡旋转的次数比较多更差的是在删除时有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此如果需要一种查询高效且有序的数据结构而且数据的个数为静态的即不会改变。可以考虑AVL树但是一个结构经常修改就不太适合。
AVL树实现的完整代码可参考AVL树的实现。
