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连续产量古诺模型是博弈论中非常经典的模型#xff0c;以两厂商连续产量古诺博弈为例#xff1a;
1、模型建立
Player#xff1a;两个供应相同产品的厂商
产量#xff1a;厂商1的产量为q1#xff0c;厂商2的产量为q2#xff0c;市场总供给为Qq1q2。…连续产量古诺模型
连续产量古诺模型是博弈论中非常经典的模型以两厂商连续产量古诺博弈为例
1、模型建立
Player两个供应相同产品的厂商
产量厂商1的产量为q1厂商2的产量为q2市场总供给为Qq1q2。
市场出清价格P市场总供给的函数P(Q)8-Q (市场出清价格是可以将产品全部卖出的价格)
成本设两个厂商都无固定成本每增加一单位产量的边际成本c1c2c。
最后强调两个厂商同时决策,即决策之前都不知道另一方产量(完全信息静态博弈)。
该博弈两博弈方的策略空间是他们可以选择的产量。假设产量是连续变量也就是说两厂商有无限多种可选策略。两博弈方的得益是两个厂商各自的利润即各自的销售收益减去各自的成本 π 1 q 1 P ( Q ) − q 1 c q 1 ( 8 − ( q 1 q 2 ) ) − c q 1 − q 1 2 − c q 1 − q 1 q 2 8 q 1 π_1q_1 P(Q)-q_1 cq_1 (8-(q_1q_2 ))-cq_1-q_1^2-cq_1-q_1 q_28q_1 π1q1P(Q)−q1cq1(8−(q1q2))−cq1−q12−cq1−q1q28q1 和 π 2 q 2 P ( Q ) − q 2 c q 2 ( 8 − ( q 1 q 2 ) ) − c q 2 − q 2 2 − c q 2 − q 1 q 2 8 q 2 π_2q_2 P(Q)-q_2 cq_2 (8-(q_1q_2 ))-cq_2-q_2^2-cq_2-q_1 q_28q_2 π2q2P(Q)−q2cq2(8−(q1q2))−cq2−q22−cq2−q1q28q2 其中 π 1 π_1 π1、 π 2 π_2 π2分别是厂商1、厂商2的利润。可以看出两博弈方的得益都取决于双方的产量。这个博弈中我们需要找到纳什均衡即只要策略组合 ( q 1 ∗ , q 2 ∗ ) (q_1^*,q_2^*) (q1∗,q2∗)满足 q 1 ∗ q_1^* q1∗和 q 2 ∗ q_2^* q2∗相互是对于对方的最佳对策就构成纳什均衡。
根据纳什均衡的定义知道,纳什均衡就是相互是最优对策的各博弈方策略组合。因此,如果策略组合 ( q 1 ∗ , q 2 ∗ ) (q_1^*,q_2^*) (q1∗,q2∗)是本博弈的纳什均衡,就必须是下列最大值问题的解 { m a x q 1 ( − q 1 2 − c q 1 − q 1 q 2 ∗ 8 q 1 ) m a x q 2 ( − q 2 2 − c q 2 − q 1 ∗ q 2 8 q 2 ) \begin{cases} \underset{q_1}{max}(-q_1^2-cq_1-q_1 q_2^*8q_1)\\ \underset{q_2}{max}(-q_2^2-cq_2-q_1^* q_28q_2) \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧q1max(−q12−cq1−q1q2∗8q1)q2max(−q22−cq2−q1∗q28q2)
2、模型求解
上述两个求最大值的式子都是各自变量的二次式,且二次项系数都小于0,因此只要 q 1 ∗ q_1^* q1∗和 q 2 ∗ q_2^* q2∗能使两式各自对 q 1 q_1 q1和 q 2 q_2 q2的导数为0就能实现两式的最大值。
即令 { − 2 q 1 − c − q 2 ∗ 8 0 − 2 q 2 − c − q 1 ∗ 8 0 \begin{cases} -2q_1-c-q_2^*80\\ -2q_2-c-q_1^*80 \end{cases} {−2q1−c−q2∗80−2q2−c−q1∗80
又因为策略组合 ( q 1 ∗ , q 2 ∗ ) (q_1^*,q_2^*) (q1∗,q2∗)是本博弈的纳什均衡故解下列方程 { − 2 q 1 ∗ − c − q 2 ∗ 8 0 − 2 q 2 ∗ − c − q 1 ∗ 8 0 \begin{cases} -2q_1^*-c-q_2^*80\\ -2q_2^*-c-q_1^*80 \end{cases} {−2q1∗−c−q2∗80−2q2∗−c−q1∗80
得到方程组唯一解: { q 1 ∗ 8 − c 3 q 2 ∗ 8 − c 3 \begin{cases} q_1^*\frac {8-c}{3}\\ q_2^*\frac {8-c}{3} \end{cases} {q1∗38−cq2∗38−c
可以进一步得到市场总供给 Q q 1 ∗ q 2 ∗ 16 − 2 c 3 Qq_1^*q_2^*\frac {16-2c}{3} Qq1∗q2∗316−2c 市场出清价格为 P 8 − ( 16 − 2 c ) / 3 8 2 c 3 P8-(16-2c)/3\frac {82c}{3} P8−(16−2c)/3382c 故双方的得益分别为: π 1 q 1 ∗ P ( Q ) − q 1 ∗ c 8 − c 3 ∙ ( 8 2 c 3 − c ) ( 8 − c ) 2 9 π_1q_1^* P(Q)-q_1^* c\frac {8-c}{3}∙(\frac {82c}{3}-c)\frac{(8-c)^2}{9} π1q1∗P(Q)−q1∗c38−c∙(382c−c)9(8−c)2 π 2 q 2 ∗ P ( Q ) − q 2 ∗ c 8 − c 3 ∙ ( 8 2 c 3 − c ) ( 8 − c ) 2 9 π_2q_2^* P(Q)-q_2^* c\frac {8-c}{3}∙(\frac {82c}{3}-c)\frac{(8-c)^2}{9} π2q2∗P(Q)−q2∗c38−c∙(382c−c)9(8−c)2 总收益为(s为separate) π s ∗ π 1 π 2 2 ( 8 − c ) 2 9 π_s^*π_1π_2\frac{2(8-c)^2}{9} πs∗π1π292(8−c)2 π s ∗ π_s^* πs∗为两个厂商在各自做决策场景下的总收益。
3、模型拓展
如果从两个厂商总体利益最大化角度进行统一的产量选择,就要求实现两个厂商总和利润最大的总产量。设总产量为Q,则总利润为 π o Q P ( Q ) − c Q Q ( 8 − Q ) − c Q − Q 2 ( 8 − c ) Q π_oQP(Q)-cQQ(8-Q)-cQ-Q^2(8-c)Q πoQP(Q)−cQQ(8−Q)−cQ−Q2(8−c)Q 其中 π o π_o πo(o为overall)为两个厂商总体决策时的总利润则同样求一阶导得到当 Q ( 8 − c ) / 2 Q(8-c)/2 Q(8−c)/2时取得最大值 π o ∗ ( 8 − c ) 2 4 π_o^*\frac {(8-c)^2}{4} πo∗4(8−c)2
4、结果比较
将两个厂商进行统一的产量选择时的结果与两个厂商独立决策、追求各自利润最大化时的博弈结果相比: π ∗ { 2 ( 8 − c ) 2 9 Q ∗ ( 16 − 2 c ) 3 ( 8 − c ) 2 4 Q ∗ ( 8 − c ) 2 π^* \begin{cases} \frac{2(8-c)^2}{9} Q^*\frac {(16-2c)}{3} \\ \frac {(8-c)^2}{4} Q^*\frac {(8-c)}{2}\\ \end{cases} π∗{92(8−c)2Q∗3(16−2c)4(8−c)2Q∗2(8−c)
不难发现从两个厂商总体利益最大化角度进行统一的产量选择时总产量较小,而总利润却较高。
因此从两个厂商的总体来看,根据总体利益最大化决策效率更高即如果两个厂商联合起来决定产量,先定出使总利益最大的总产量( 8 − c 2 \frac {8-c}{2} 28−c)后各自生产其一半( 8 − c 4 \frac {8-c}{4} 48−c),则各自可分享到单位利润 ( 8 − c ) 2 8 \frac {(8-c)^2}{8} 8(8−c)2,比各自独立决策获得的利润 ( 8 − c ) 2 9 \frac {(8-c)^2}{9} 9(8−c)2要高。
当然,在两个独立决策的企业之间实现合作并不容易。合作难以实现的原因主要是合作的产量组合( 8 − c 4 \frac {8-c}{4} 48−c, 8 − c 4 \frac {8-c}{4} 48−c)不是纳什均衡。在这个策略组合中双方都可以独自改变自己的策略得到更高的利润,双方都有突破 8 − c 4 \frac {8-c}{4} 48−c单位产量的冲动。在缺乏有强制性协议保障的情况下,这种冲动注定了不可能维持产量组合( 8 − c 4 \frac {8-c}{4} 48−c, 8 − c 4 \frac {8-c}{4} 48−c)两个厂商早晚都会增产只有达到纳什均衡产量( 8 − c 3 \frac {8-c}{3} 38−c, 8 − c 3 \frac {8-c}{3} 38−c)后才会稳定下来,因为这时任意一个厂商单独改变产量都不利于自己。如果将遵守还是突破限额作为厂商面临的选择,则构成如下图所示中得益矩阵表示的博弈。不难看出,下图所示是一个囚徒困境。
5、总结
上述博弈是根据谢识予老师的《经济博弈论》中连续产量古诺模型改编得到的比较简单版本。更复杂的模型可以包括n个寡头,市场出清价格与市场总产量的函数关系PP(Q) 可以更复杂,每个厂商的成本也可以变化或不同。但不管这些因素如何变化,分析思路与上述模型是相似的,不过纳什均衡的产量组合将变成n个偏微分为0的联立方程组解。
产量博弈的古诺模型是一种囚徒困境,无法实现博弈方总体和各个博弈方各自最大利益的结论该博弈说明自由竞争经济同样存在低效率问题放任自流并非最好的政策。这些结论也说明了,政府对市场调控和监管的必要性。
