中国建设网站官方网站,做片头网站,浙江seo外包费用,郑州公司做网站汉狮目录 pdf和cdf参数 标准正态分布期望和方差分布形态 3 σ 3\sigma 3σ原则 正态和偏态正态偏态瑞利分布偏度 (Skewness)峰度 (Kurtosis) 比较 正态分布的英文是Normal Distribution#xff0c;normal是“正常”或“标准”的意思#xff0c;中文翻译是正态#xff0c;多完美的… 目录 pdf和cdf参数 标准正态分布期望和方差分布形态 3 σ 3\sigma 3σ原则 正态和偏态正态偏态瑞利分布偏度 (Skewness)峰度 (Kurtosis) 比较 正态分布的英文是Normal Distributionnormal是“正常”或“标准”的意思中文翻译是正态多完美的翻译正态对应偏态正态是指分布曲线左右对称偏度为零。正态分布的峰度也为0。 话说现在的翻译真让人受不了比如那个multi-head attention。head还有body是按身体的部位命名的那可能是语言习惯就像描述像素邻域他们用north, south, southeast这样描述但是我们用上、下右下描述如果中文用北、南、东南这样描述是不是很奇怪语言习惯不一样。
不会翻译还不如不翻了那些翻译为头的人到底有脑子吗很烦那种不说人话的翻译。
言归正传
正态分布Normal Distribution也被称为高斯分布Gaussian Distribution是一种重要的连续型概率分布。它在自然和社会科学的许多领域中都有广泛的应用。
pdf和cdf
正态分布的概率密度函数可以表示为 f ( x ) 1 σ 2 π e − 1 2 ( x − μ σ ) 2 f(x) \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} f(x)σ2π 1e−21(σx−μ)2 其中 x x x是随机变量 μ \mu μ是均值 σ \sigma σ是标准差。记为 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu, \sigma^2) X∼N(μ,σ2)。
正态分布的图形是对称的其形状像一个钟形曲线均值mean、中位数median和众数mode都位于分布的中心点。大部分数据集中在平均值附近随着离平均值距离的增加数据出现的概率迅速减少。 正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2) N(μ,σ2)的分布函数为 F ( x ) 1 2 π σ ∫ − ∞ x e − ( t − μ ) 2 2 σ 2 d t F(x) \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}} dt F(x)2π σ1∫−∞xe−2σ2(t−μ)2dt
它是一条光滑上升的 S 形曲线。 参数
正态分布中的两个参数——均值 μ μ μ和标准差 σ σ σ如何影响正态分布图形的形状和位置。 如果固定 σ σ σ改变 μ μ μ的值则曲线沿 x 轴平移而不改变其形状。也就是说正态密度函数的位置由参数 μ μ μ所确定因此称 μ μ μ为位置参数。 如果固定 μ μ μ改变 σ σ σ的值则分布的位置不变但 σ σ σ愈小曲线呈高且窄数据更加集中于均值周围 σ σ σ愈大曲线呈低且宽数据较为分散。也就是说正态密度函数的尺度由参数 σ σ σ所确定因此称 σ σ σ为尺度参数。
总结均值 μ μ μ决定分布的位置而标准差 σ σ σ则决定了分布的宽度和数据的集中程度。 标准正态分布
设定随机变量 X X X服从正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2) N(μ,σ2)并将其标准化为 U X − μ σ U \frac{X - \mu}{\sigma} UσX−μ使得 U U U服从标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0, 1) N(0,1)。
对于标准正态分布均值为0标准差为1概率密度函数为 p ( z ) 1 2 π e − z 2 2 p(z) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} p(z)2π 1e−2z2 标准正态分布的累积分布函数 Φ ( z ) ∫ − ∞ z 1 2 π e − t 2 2 d t \Phi(z) \int_{-\infty}^{z} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} \, dt Φ(z)∫−∞z2π 1e−2t2dt
期望和方差
好巧不巧正态分布的两个参数正好是均值和标准差。正态分布就是那么完美。
假设 U U U服从标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0, 1) N(0,1) 均值的计算 计算 U U U的期望值 E ( U ) E(U) E(U) E ( U ) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ u e − u 2 2 d u E(U) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} u e^{-\frac{u^2}{2}} du E(U)2π 1∫−∞∞ue−2u2du 由于被积函数是一个奇函数其积分结果为零即 E ( U ) 0 E(U) 0 E(U)0。因此根据 X μ σ U X \mu \sigma U XμσU可以得出 X X X的期望值 E ( X ) E(X) E(X) E ( X ) μ σ × 0 μ E(X) \mu \sigma \times 0 \mu E(X)μσ×0μ结论正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2) N(μ,σ2)的均值为 μ \mu μ。 方差的计算 首先计算 U U U的方差 V a r ( U ) Var(U) Var(U)或者说是 U 2 U^2 U2的期望值 E ( U 2 ) E(U^2) E(U2) E ( U 2 ) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ u 2 e − u 2 2 d u E(U^2) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} u^2 e^{-\frac{u^2}{2}} du E(U2)2π 1∫−∞∞u2e−2u2du 利用分部积分法最终得到 E ( U 2 ) 1 E(U^2) 1 E(U2)1。根据 X μ σ U X \mu \sigma U XμσU可以得出 X X X的方差 V a r ( X ) Var(X) Var(X) V a r ( X ) V a r ( μ σ U ) σ 2 V a r ( U ) σ 2 × 1 σ 2 Var(X) Var(\mu \sigma U) \sigma^2 Var(U) \sigma^2 \times 1 \sigma^2 Var(X)Var(μσU)σ2Var(U)σ2×1σ2结论正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2) N(μ,σ2)的方差为 σ 2 \sigma^2 σ2。
注意 E ( X ) μ E(X) \mu E(X)μ、 V a r ( X ) σ 2 Var(X) \sigma^2 Var(X)σ2均值 μ \mu μ和方差 σ 2 \sigma^2 σ2是正态分布的参数只是在正态分布中正好等于期望和方差而 E ( X ) E(X) E(X)和 V a r ( X ) Var(X) Var(X)是统计量注意分区概念。有些刊物真是离谱了。 例如Rafael Gonzalez的《数字图像处理》此外这个 a a a也真多余。 和这个
分布形态
对于一个连续随机变量 X X X其概率密度函数 f ( x ) f(x) f(x)描述了 X X X在某个特定值 x x x处的概率密度。需要注意的是 f ( x ) f(x) f(x)不直接表示概率而是表示概率的密度。
对于任意区间 [ a , b ] [a, b] [a,b]随机变量 X X X落在这个区间内的概率可以通过计算该区间上的曲线下面积来得到。数学上这可以通过积分来表示 P ( a ≤ X ≤ b ) ∫ a b f ( x ) d x P(a \leq X \leq b) \int_{a}^{b} f(x) \, dx P(a≤X≤b)∫abf(x)dx 要计算 X X X落在某个区间 [ a , b ] [a, b] [a,b]内的概率可以使用正态分布的累积分布函数CDF P ( a ≤ X ≤ b ) Φ ( b ) − Φ ( a ) P(a \leq X \leq b) \Phi(b) - \Phi(a) P(a≤X≤b)Φ(b)−Φ(a) 其中 Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x)是正态分布的累积分布函数。
假设要计算标准正态分布中 Z Z Z落在 [ − 1 , 1 ] [-1, 1] [−1,1]区间内的概率。 计算 Φ ( 1 ) \Phi(1) Φ(1) Φ ( 1 ) ∫ − ∞ 1 1 2 π e − t 2 2 d t ≈ 0.8413 \Phi(1) \int_{-\infty}^{1} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} \, dt \approx 0.8413 Φ(1)∫−∞12π 1e−2t2dt≈0.8413 计算 Φ ( − 1 ) \Phi(-1) Φ(−1) Φ ( − 1 ) ∫ − ∞ − 1 1 2 π e − t 2 2 d t ≈ 0.1587 \Phi(-1) \int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} \, dt \approx 0.1587 Φ(−1)∫−∞−12π 1e−2t2dt≈0.1587 计算概率 P ( − 1 ≤ Z ≤ 1 ) Φ ( 1 ) − Φ ( − 1 ) 0.8413 − 0.1587 0.6826 P(-1 \leq Z \leq 1) \Phi(1) - \Phi(-1) 0.8413 - 0.1587 0.6826 P(−1≤Z≤1)Φ(1)−Φ(−1)0.8413−0.15870.6826
因此标准正态分布中 Z Z Z落在 [ − 1 , 1 ] [-1, 1] [−1,1]区间内的概率约为0.6826即68.26%。 3 σ 3\sigma 3σ原则 1 σ 1σ 1σ区间大约68.27%的数据点位于平均值 μ μ μ的一个标准差 σ σ σ的范围内即在 ( μ − σ , μ σ ) (μ - σ, μ σ) (μ−σ,μσ)之间。 P ( μ − σ X μ σ ) ≈ 0.6827 P(μ - σ X μ σ) ≈ 0.6827 P(μ−σXμσ)≈0.6827 2 σ 2σ 2σ区间大约95.45%的数据点位于平均值 μ μ μ的两个标准差 2 σ 2σ 2σ的范围内即在 ( μ − 2 σ , μ 2 σ ) (μ - 2σ, μ 2σ) (μ−2σ,μ2σ)之间。 P ( μ − 2 σ X μ 2 σ ) ≈ 0.9545 P(μ - 2σ X μ 2σ) ≈ 0.9545 P(μ−2σXμ2σ)≈0.9545 3 σ 3σ 3σ区间大约99.73%的数据点位于平均值 μ μ μ的三个标准差 3 σ 3σ 3σ的范围内即在 ( μ − 3 σ , μ 3 σ ) (μ - 3σ, μ 3σ) (μ−3σ,μ3σ)之间。 P ( μ − 3 σ X μ 3 σ ) ≈ 0.9973 P(μ - 3σ X μ 3σ) ≈ 0.9973 P(μ−3σXμ3σ)≈0.9973
正态分布的3σ原则指出正态分布随机变量取值落在三倍标准差之外的概率非常小大约是0.27%即100% - 99.73%。
落在 μ ± 3 σ μ±3σ μ±3σ之外的概率为 1 − 0.9973 0.0027 1 - 0.9973 0.0027 1−0.99730.0027或者说约为0.27%。
在实际应用中由于这个概率非常小通常认为这样的事件几乎不会发生。因此在很多情况下可以将区间 ( μ − 3 σ , μ 3 σ ) (μ - 3σ, μ 3σ) (μ−3σ,μ3σ)视为正态分布随机变量的实际可能取值区间。这意味着在这个区间之外的值可以被视为异常值或者极端值。
这种处理方式简化了数据分析和决策制定的过程尤其是在质量控制、过程改进等实际问题中 3 σ 3σ 3σ原则提供了一种有效的方法来识别和处理异常数据点。这也就是所谓的正态分布的 3 σ 3σ 3σ原则。
normcdf(1)-normcdf(-1)
normcdf(2)-normcdf(-2)
normcdf(3)-normcdf(-3)正态和偏态
正态
正态分布的曲线是左右对称的其形状像一个钟形曲线均值mean、中位数median和众数mode都位于分布的中心点。
偏态
偏态分布是指数据分布不是对称的而是偏向一侧。偏态可以是正偏右偏或负偏左偏。
当分布曲线的尾巴向右延伸时称为正偏态在正偏态分布中大多数数据值集中在左侧而右侧有较长的拖尾。当分布曲线的尾巴向左延伸时称为负偏态。而在负偏态分布中大多数数据值集中在右侧左侧有较长的拖尾。
瑞利分布
看瑞利分布我喜欢这个分布并不知道什么用就是喜欢它的流线型。
对于参数为 σ \sigma σ的瑞利分布其概率密度函数 (PDF) 可以表示为 f ( x ; σ ) x σ 2 e − x 2 / ( 2 σ 2 ) , x ≥ 0 f(x;\sigma) \frac{x}{\sigma^2} e^{-x^2/(2\sigma^2)}, \quad x \geq 0 f(x;σ)σ2xe−x2/(2σ2),x≥0
其中 σ 0 \sigma 0 σ0是尺度参数。 均值期望 E ( X ) σ π 2 E(X) \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}} E(X)σ2π 方差 V a r ( X ) ( 4 − π ) σ 2 2 Var(X) \left( 4 - \pi \right) \frac{\sigma^2}{2} Var(X)(4−π)2σ2
瑞利分布的均值和方差如何随着形状参数 σ \sigma σ的变化而变化。具体来说当 σ \sigma σ增大时均值和方差都会相应地增加。
偏度 (Skewness)
瑞利分布的偏度是正的表明分布是右偏的。具体来说偏度 γ 1 \gamma_1 γ1可以通过以下公式计算 γ 1 2 π ( 4 − π 2 ) − 3 / 2 ≈ 0.6311 \gamma_1 \sqrt{\frac{2}{\pi}} \left( \frac{4 - \pi}{2} \right)^{-3/2} \approx 0.6311 γ1π2 (24−π)−3/2≈0.6311
峰度 (Kurtosis)
峰度描述了分布的尖峭程度对于瑞利分布其峰度 β 2 \beta_2 β2可以表示为 β 2 ( 4 − π 2 ) − 2 ⋅ ( 3 − 6 π 4 − π π 2 2 ) ≈ 3.245 \beta_2 \left( \frac{4 - \pi}{2} \right)^{-2} \cdot \left( 3 - \frac{6\pi}{4 - \pi} \frac{\pi^2}{2} \right) \approx 3.245 β2(24−π)−2⋅(3−4−π6π2π2)≈3.245
这里峰度是指四阶标准化矩而超峰度excess kurtosis则是指峰度减去3因此瑞利分布的超量峰度为 Excess Kurtosis β 2 − 3 ≈ 0.245 \text{Excess Kurtosis} \beta_2 - 3 \approx 0.245 Excess Kurtosisβ2−3≈0.245
正态分布的偏度为0峰度为3超峰度为0而瑞利分布的偏度为正值峰度略大于3这反映了它的分布形态特点。 比较
对称性正态分布是对称的而偏态分布是非对称的。中心位置在正态分布中均值、中位数和众数都是相同的而在偏态分布中这三个统计量通常不同且它们之间的关系可以用来判断偏态的方向。
